Введение

Мод сходимости бесконечного ряда

В математике бесконечный ряд чисел называется абсолютно сходящимся, если сумма абсолютных значений его членов конечна. Более точно, действительный или комплексный ряд называется абсолютно сходящимся, если для некоторого действительного числа . Аналогично, несобственный интеграл функции называется абсолютно сходящимся, если интеграл абсолютного значения подынтегральной функции конечен, то есть, если . Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся. Абсолютная сходимость важна при изучении бесконечных рядов, поскольку её определение достаточно сильное, чтобы гарантировать, что ряд будет обладать некоторыми свойствами конечных сумм, которыми не обладают все сходящиеся ряды — абсолютно сходящиеся ряды ведут себя "удобно". Например, перестановки не изменяют значение суммы. Это неверно для условно сходящихся рядов: чередующийся гармонический ряд сходится к , а его перестановка (в которой повторяющийся шаблон знаков состоит из двух положительных членов, за которыми следует один отрицательный член) сходится к .

Определение действительных и комплексных чисел

Сумма вещественных или комплексных чисел абсолютно сходится, если сумма абсолютных величин её членов сходится.

Отношение к конвергенции

Если пространство полное относительно метрики , то любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство аналогично доказательству для рядов комплексных значений: используйте полноту, чтобы вывести критерий Коши для сходимости — ряд сходится тогда и только тогда, когда его остатки могут быть сделаны сколь угодно малыми по норме — и примените неравенство треугольника. В частности, для рядов со значениями в любом пространстве Банаха абсолютная сходимость влечёт сходимость. Обратное также верно: если абсолютная сходимость влечёт сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является пространством Банаха. Ряд, который сходится, но не абсолютно сходится, называется условно сходящимся. Примером условно сходящегося ряда является знакочередующий гармонический ряд. Многие стандартные тесты на расходимость и сходимость, наиболее заметные из которых — критерий Даламбера и критерий Коши, демонстрируют абсолютную сходимость. Это связано с тем, что степенной ряд абсолютно сходится внутри области сходимости.

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и треугольного неравенства

Применяя критерий Коши для сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника. По критерию Коши, ряд сходится, если и только если для любого ε существует N такое, что для любого n > N выполняется |a_n| < ε. Но неравенство треугольника подразумевает, что |a_n| ≤ |a_1| + |a_2| + ... + |a_n|, следовательно, |a_n| < ε для достаточно большого n, что является как раз критерием Коши для сходимости ряда.

Реальные и комплексные числа

Когда ряд действительных или комплексных чисел абсолютно сходится, любая перестановка его членов все равно будет сходиться к тому же значению. Этот факт – одна из причин полезности абсолютно сходящихся рядов: доказательство абсолютной сходимости ряда позволяет группировать или переставлять его члены удобным образом, не изменяя при этом значение суммы. Теорема Римана о перестановках показывает, что обратное также верно: любой ряд с действительными или комплексными значениями, члены которого нельзя переставить так, чтобы получить другое значение, является абсолютно сходящимся.

Абсолютная конвергенция по множествам

Обобщением абсолютной сходимости ряда является абсолютная сходимость суммы функции по множеству. Сначала рассмотрим счетное множество и функцию. Ниже мы дадим определение суммы по , обозначаемой как .

Прежде всего, заметим, что поскольку конкретное перечисление (или "индексирование") множества еще не задано, ряд нельзя понимать в рамках более базового определения ряда. Фактически, для некоторых примеров и , сумма по может быть вообще не определена, поскольку определенная индексация может привести к условно сходящемуся ряду. Поэтому мы определяем только в том случае, когда существует биекция , такая что абсолютно сходится. Обратите внимание, что здесь "абсолютно сходящийся" использует более базовое определение, применяемое к индексированному ряду. В этом случае значение суммы по определяется как

Заметим, что поскольку ряд абсолютно сходится, то любая перестановка эквивалентна другому выбору биекции . Поскольку все эти суммы имеют одно и то же значение, то сумма по хорошо определена. В еще более общем случае мы можем определить сумму по , когда множество несчетно. Но сначала определим, что означает сходимость суммы. Пусть будет любое множество, счетное или несчетное, и функция. Мы говорим, что сумма по сходится абсолютно, если

Существует теорема, утверждающая, что если сумма по абсолютно сходится, то принимает ненулевые значения на множестве, которое является, по крайней мере, счетным. Следовательно, ниже приведено непротиворечивое определение суммы по , когда сумма абсолютно сходится. Обратите внимание, что в конечном ряду используется определение ряда над счетным множеством. Некоторые авторы определяют итерированную сумму как абсолютно сходящуюся, если итерированный ряд . Это фактически эквивалентно абсолютной сходимости . То есть, если сумма по абсолютно сходится, как определено выше, то итерированная сумма также абсолютно сходится, и наоборот.

Общие ссылки

Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (МакГроу-Хилл: Нью-Йорк, 1964).