Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы математикалық құрылым
Mathematical structure in differential geometry
Дифференциалдық геометрияда, математиканың бір саласы, Пуассон көптігі – Пуассон құрылымымен жабдықталған тегіс көптік. Пуассон көптігінің түсінігі симплектикалық көптіктің түсінігін жалпылайды, ол өз кезегінде Гамильтон механикасынан фазалық кеңістікті жалпылайды. Тегіс көптік үстіндегі Пуассон құрылымы (немесе Пуассон жақшасы) – тегіс функциялардың векторлық кеңістігіндегі функция, оны Лейбниц ережесіне (Пуассон алгебрасы деп те аталады) бағынатын Ли алгебрасына айналдырады. Пуассон құрылымдарын 1977 жылы Андре Лихнерович енгізді және олар француз математигі Симеон Денис Пуассонның есімімен аталады, себебі олар оның аналитикалық механика бойынша еңбектерінде ерте пайда болған.
In differential geometry, a field in mathematics, a Poisson manifold is a smooth manifold endowed with a Poisson structure. The notion of Poisson manifold generalises that of symplectic manifold, which in turn generalises the phase space from Hamiltonian mechanics. A Poisson structure (or Poisson bracket) on a smooth manifold is a functionon the vector space of smooth functions on , making it into a Lie algebra subject to a Leibniz rule (also known as a Poisson algebra). Poisson structures on manifolds were introduced by André Lichnerowicz in 1977 and are named after the French mathematician Siméon Denis Poisson, due to their early appearance in his works on analytical mechanics.</blockquote>
Шындығында, Симеон Денис Пуассон 1809 жылы қазір Пуассон жақшасы деп аталатын нәрсені енгізді, жаңа қозғалыс интегралдарын алу үшін, яғни қозғалыс барысында сақталатын шамаларды табу үшін. Нақтырақ айтқанда, ол егер екі функция және қозғалыс интегралы болса, онда үшінші функция, яғни де қозғалыс интегралы болатынын дәлелдеді. Механиканың Гамильтондық формулировкасында, физикалық жүйенің динамикасы белгілі бір функциямен (әдетте жүйенің энергиясы) сипатталса, қозғалыс интегралы – бұл Пуассонмен коммутациялайтын функция, яғни . Пуассонның теоремасы ретінде белгілі болатын нәрсені былай формулировать болады. Пуассон есептеулері көп беттерді алып жатты, ал оның нәтижелерін екі онжылдықтан кейін Карл Густав Якоб Якоби қайтадан ашты және оңайлатты. Якоби алғаш рет Пуассон жақшасының бинарлық операция ретіндегі жалпы қасиеттерін анықтады. Сонымен қатар, ол екі функцияның (Пуассон) жақшасы мен олардың сәйкес Гамильтондық векторлық өрістерінің (Ли) жақшасы арасындағы байланысты орнатты, яғни қозғалыс интегралдары туралы Пуассон теоремасын қайта құру (және одан да қысқа дәлелдеу) үшін. Якобидің Пуассон жақшалары туралы жұмысы дифференциалдық теңдеулердің симметриясы туралы Софус Лидің пионерлік зерттеулеріне әсер етті, бұл Ли топтары мен Ли алгебраларын ашуға әкелді. Мысалы, қазір сызықтық Пуассон құрылымдары деп аталатын (яғни сызықтық функцияларды сызықтық функцияларға жіберетін векторлық кеңістіктегі Пуассон жақшалары) дәл Ли алгебрасы құрылымдарына сәйкес келеді. Сонымен қатар, сызықтық Пуассон құрылымының интегралдануы (төменде қараңыз) оның сәйкес Ли алгебрасының Ли тобымен интегралдануымен тығыз байланысты. ХХ ғасырда заманауи дифференциалдық геометрия дамыды, бірақ тек 1977 жылы Андре Лихнерович Пуассон құрылымдарын тегіс көптіктердегі геометриялық нысандар ретінде енгізді. Бұл жұмыстар келесі онжылдықтарда Пуассон геометриясының дамуына үлкен әсер етті, ол бүгінде өзіндік сала болып табылады, сонымен бірге, мысалы, коммутативті емес геометриямен, интегралданатын жүйелермен, топологиялық өріс теорияларымен және өкілдік теориясымен тығыз байланысты.
Indeed, Siméon Denis Poisson introduced in 1809 what we now call Poisson bracket in order to obtain new integrals of motion, i. e. quantities which are preserved throughout the motion. More precisely, he proved that, if two functions and are integral of motions, then there is a third function, denoted by , which is an integral of motion as well. In the Hamiltonian formulation of mechanics, where the dynamics of a physical system is described by a given function (usually the energy of the system), an integral of motion is simply a function which Poisson commutes with , i. e. such that What will become known as Poisson's theorem can then be formulated asPoisson computations occupied many pages, and his results were rediscovered and simplified two decades later by Carl Gustav Jacob Jacobi. Jacobi was the first to identify the general properties of the Poisson bracket as a binary operation. Moreover, he established the relation between the (Poisson) bracket of two functions and the (Lie) bracket of their associated Hamiltonian vector fields, i. e. in order to reformulate (and give a much shorter proof of) Poisson's theorem on integrals of motion. Jacobi's work on Poisson brackets influenced the pioneering studies of Sophus Lie on symmetries of differential equations, which led to the discovery of Lie groups and Lie algebras. For instance, what are now called linear Poisson structures (i. e. Poisson brackets on a vector space which send linear functions to linear functions) correspond precisely to Lie algebra structures. Moreover, the integrability of a linear Poisson structure (see below) is closely related to the integrability of its associated Lie algebra to a Lie group. The twentieth century saw the development of modern differential geometry, but only in 1977 André Lichnerowicz introduced Poisson structures as geometric objects on smooth manifolds. These works exerted a huge influence in the subsequent decades on the development of Poisson geometry, which today is a field of its own, and at the same time is deeply entangled with e. g. non commutative geometry, integrable systems, topological field theories and representation theory.
Ресми анықтама
Пуассон құрылымдарын анықтаудың екі негізгі тұжырымдамасы бар: олардың арасында көшу қалыпты және ыңғайлы болып табылады.
There are two main points of view to define Poisson structures: it is customary and convenient to switch between them.
Қалқа ретінде
Болсын – тегіс көптік, ал – функциялардың тегіс, нақты мәнді функциялардың алгебрасын белгілейік, онда көбейту нүкте бойынша анықталады. Пойсон жақшасы (немесе Пойсон құрылымы) – бұл Пойсон алгебрасының құрылымын анықтайтын екі сызықты карта:
Let be a smooth manifold and let denote the real algebra of smooth real valued functions on , where the multiplication is defined pointwise. A Poisson bracket (or Poisson structure) on is an bilinear map
келесі үш шартты қанағаттандырады, яғни:
Кейбір симметрия:
Якоби тождестігі:
Лейбниц ережесі:
Алғашқы екі шарт Ли алгебрасының құрылымын анықтайды, ал үшінші шарт әрбір үшін сызықтық карта алгебраның туындысы екенін кепілдік береді, яғни ол -қа қатысты Гамильтон векторлық өрісі деп аталатын векторлық өрісті анықтайды.
Жергілікті координаттарды таңдағанда, кез келген Пойсон жақшасы координаттық функциялардың Пойсон жақшасы үшін былай беріледі:
defining a structure of Poisson algebra on , i. e. satisfying the following three conditions:
Skew symmetry: Jacobi identity: Leibniz's Rule:
The first two conditions ensure that defines a Lie algebra structure on , while the third guarantees that, for each , the linear map is a derivation of the algebra , i. e., it defines a vector field called the Hamiltonian vector field associated to
Choosing local coordinates , any Poisson bracket is given byfor the Poisson bracket of the coordinate functions.
Басқа мысалдар мен конструкциялар
Векторлық кеңістіктегі кез келген тұрақты бивекторлық өріс автоматты түрде Пуассон құрылымы болып табылады; себебі, Якобиатордағы үш терминнің де мәні нөлге тең, олар тұрақты функциямен жақша болып табылады. 2 өлшемді көптүрліліктегі кез келген бивекторлық өріс автоматты түрде Пуассон құрылымы болып табылады; себебі, ол 3-векторлық өріс, ал ол 2 өлшемде әрқашан нөл болады. 3 өлшемді көптүрліліктегі кез келген Пуассон бивекторлық өрісі берілген болса, кез келген үшін бивекторлық өріс автоматты түрде Пуассон болып табылады. Екі Пуассон көптүрлілігінің декарт көбейтіндісі қайтадан Пуассон көптүрлілігі болып табылады. - өлшемді (реттік) жапырақталу және оның күші ешқандай жерде жоғалып кетпейтін жабық жапырақталу формасы болсын. Бұл көптүрлілігіндегі реттік Пуассон құрылымын бірегей түрде анықтайды, жапырақтарының симплектикалық жапырақтары жапырақтарымен сәйкес келуін және оларға туындаған симплектикалық формамен жабдықталуын талап етеді. Пуассон диффеоморфизмдері арқылы Пуассон көптүрлілігіне әсер ететін Ли тобы болсын. Егер әрекет еркін және дұрыс болса, онда үлестік көптүрлілік -ден Пуассон құрылымын мұра етеді (яғни, сумасы Поассон картасы болатын жалғыз құрылым).
Any constant bivector field on a vector space is automatically a Poisson structure; indeed, all three terms in the Jacobiator are zero, being the bracket with a constant function. Any bivector field on a 2 dimensional manifold is automatically a Poisson structure; indeed, is a 3 vector field, which is always zero in dimension 2. Given any Poisson bivector field on a 3 dimensional manifold , the bivector field , for any , is automatically Poisson. The Cartesian product of two Poisson manifolds and is again a Poisson manifold. Let be a (regular) foliation of dimension on and a closed foliation two form for which the power is nowhere vanishing. This uniquely determines a regular Poisson structure on by requiring the symplectic leaves of to be the leaves of equipped with the induced symplectic form Let be a Lie group acting on a Poisson manifold by Poisson diffeomorphisms. If the action is free and proper, the quotient manifold inherits a Poisson structure from (namely, it is the only one such that the submersion is a Poisson map).
Интеграция үлгілері
Баяғы Poisson құрылымы әрқашан интегралданады, симплектикалық группоид каноникалық симплектикалық формасы бар абельдік (қосымша) топтардың шоғыры болып табылады. Бұрыштас емес Poisson құрылымы әрқашан интегралданады, симплектикалық группоид симплектикалық формамен бірге жұп группоид болып табылады (for ). Ли Пуассон құрылымы әрқашан интегралданады, симплектикалық группоид (қоссары) әрекет группоид болып табылады, үшін жай байланысқан интеграциясы каноникалық симплектикалық формасымен бірге . Ли Пуассон құрылымы интегралданады, егер және тек қана Ли алгебраиды Ли группоидына интегралданатын болса, симплектикалық группоид каноникалық симплектикалық формасы бар котангенттік группоид болып табылады.
The trivial Poisson structure is always integrable, the symplectic groupoid being the bundle of abelian (additive) groups with the canonical symplectic form. A non degenerate Poisson structure on is always integrable, the symplectic groupoid being the pair groupoid together with the symplectic form (for ). A Lie Poisson structure on is always integrable, the symplectic groupoid being the (coadjoint) action groupoid , for the simply connected integration of , together with the canonical symplectic form of A Lie Poisson structure on is integrable if and only if the Lie algebroid is integrable to a Lie groupoid , the symplectic groupoid being the cotangent groupoid with the canonical symplectic form.
Кітаптар мен зерттеулер
Бұрынғы нұсқасы қол жетімді. Сондай-ақ, АМС бюллетенінде Пинг Сюйдің шолуымен танысыңыз.
Previous version available on
See also the review by Ping Xu in the Bulletin of the AMS.