Введение

Математическая структура в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии, области математики, многообразие Пуассона — это гладкое многообразие, наделённое структурой Пуассона. Понятие многообразия Пуассона обобщает понятие симплектического многообразия, которое, в свою очередь, обобщает фазовое пространство из гамильтоновой механики. Структура Пуассона (или скобка Пуассона) на гладком многообразии — это функция на векторном пространстве гладких функций на , превращающая его в алгебру Ли, подчиняющуюся правилу Лейбница (также известную как алгебра Пуассона). Структуры Пуассона на многообразиях были введены Андре Лихнеровичем в 1977 году и названы в честь французского математика Симеона Дениса Пуассона, в связи с их ранним появлением в его работах по аналитической механике.

Действительно, Симеон Денис Пуассон в 1809 году ввёл то, что мы теперь называем скобкой Пуассона, чтобы получить новые интегралы движения, то есть величины, которые сохраняются в процессе движения. Более точно, он доказал, что если две функции и являются интегралами движения, то существует третья функция, обозначаемая , которая также является интегралом движения. В гамильтоновой формулировке механики, где динамика физической системы описывается заданной функцией (обычно энергией системы), интеграл движения — это просто функция, которая Пуассоновски коммутирует с , то есть такая, что то, что впоследствии стало известно как теорема Пуассона, может быть сформулировано следующим образом: вычисления Пуассона занимали много страниц, и его результаты были заново открыты и упрощены два десятилетия спустя Карлом Густавом Якоби. Якоби первым выявил общие свойства скобки Пуассона как бинарной операции. Более того, он установил связь между скобкой (Пуассона) двух функций и скобкой (Ли) их соответствующих гамильтоновых векторных полей, то есть для переформулировки (и получения гораздо более короткого доказательства) теоремы Пуассона об интегралах движения. Работа Якоби над скобками Пуассона повлияла на пионерские исследования Софуса Ли по симметриям дифференциальных уравнений, что привело к открытию групп и алгебр Ли. Например, то, что сейчас называется линейными структурами Пуассона (то есть скобками Пуассона на векторном пространстве, которые отображают линейные функции в линейные функции), точно соответствует структурам алгебры Ли. Более того, интегрируемость линейной структуры Пуассона (см. ниже) тесно связана с интегрируемостью её связанной алгебры Ли в группу Ли. В двадцатом веке развивалась современная дифференциальная геометрия, но только в 1977 году Андре Лихнерович ввёл структуры Пуассона как геометрические объекты на гладких многообразиях. Эти работы оказали огромное влияние в последующие десятилетия на развитие геометрии Пуассона, которая сегодня является самостоятельной областью и одновременно тесно связана, например, с некоммутативной геометрией, интегрируемыми системами, топологическими теориями поля и теорией представлений.

Формальное определение

Существует два основных подхода к определению структур Пуассона: как правило, между ними удобно переходить.

Как скобки

Пусть M – гладкое многообразие, а C∞(M) – вещественная алгебра гладких вещественнозначных функций на M, где умножение определено поточечно. Кронштейн Пуассона (или структура Пуассона) на C∞(M) – это билинейное отображение

определяющее структуру алгебры Пуассона на C∞(M), то есть удовлетворяющее следующим трем условиям:
Антисимметричность:
Тождество Якоби:
Правило Лейбница:
Первые два условия гарантируют, что кронштейн определяет структуру алгебры Ли на C∞(M), в то время как третье гарантирует, что для каждой функции f ∈ C∞(M) линейное отображение Lf является производной алгебры C∞(M), то есть определяет векторное поле, называемое гамильтоновым векторным полем, ассоциированным с f.
Выбирая локальные координаты (x1, ..., xn), любой кронштейн Пуассона задается формулой

для кронштейна Пуассона координатных функций.

Другие примеры и конструкции

Любое постоянное бивекторное поле на векторном пространстве автоматически является структурой Пуассона; действительно, все три члена якобиана равны нулю, поскольку они представляют собой скобку с постоянной функцией. Любое бивекторное поле на двумерном многообразии автоматически является структурой Пуассона; действительно, это 3-векторное поле, которое всегда равно нулю в размерности 2. Для любого бивекторного поля Пуассона на трехмерном многообразии бивекторное поле , для любого , автоматически является структурой Пуассона. Декартово произведение двух многообразий Пуассона и снова является многообразием Пуассона. Пусть будет (регулярной) фолиацией размерности на и замкнутой фолиальной двухформой, для которой степень нигде не обращается в нуль. Это однозначно определяет регулярную структуру Пуассона на , требуя, чтобы симплектические листья были листьями , снабженными индуцированной симплектической формой. Пусть будет группой Ли, действующей на многообразие Пуассона посредством диффеоморфизмов Пуассона. Если действие свободно и собственное, то факторное многообразие наследует структуру Пуассона от (а именно, это единственная такая структура, что погружение является отображением Пуассона).

Примеры интеграции

Тривиальная структура Пуассона всегда интегрируема, симплектический группоид является расслоением абелевых (аддитивных) групп с канонической симплектической формой. Невырожденная структура Пуассона всегда интегрируема, симплектический группоид является парным группоидом вместе с симплектической формой (for ). Структура Ли-Пуассона всегда интегрируема, симплектический группоид является (сопряженным) группоидом действия, для простосвязной интеграции , вместе с канонической симплектической формой. Структура Ли-Пуассона на является интегрируемой тогда и только тогда, когда алгебраида Ли интегрируема в группоид Ли, симплектический группоид является кокасательным группоидом с канонической симплектической формой.

Книги и обзоры

Предыдущая версия доступна на.
Также ознакомьтесь с обзором Пин Сюй в журнале "Бюллетень AMS".