Кіріспе
Көптүрліліктердің суперсимметриялық жалпылануы. Физика және математикада суперкөптүрліліктер – суперсимметриядан туындаған идеяларға негізделген көптүрлілік түсінігінің жалпылануы болып табылады. Қолданылып жүрген бірнеше анықтама бар, олардың кейбіреулері төменде сипатталған.
In physics and mathematics, supermanifolds are generalizations of the manifold concept based on ideas coming from supersymmetry. Several definitions are in use, some of which are described below.
Бейресми анықтама
Физика оқулықтарында және кіріспе лекцияларда жиі қолданылатын бейресми анықтама бар. Ол суперкөптүрлілікті бозондық және фермиондық координаттары бар көптүрлілік деп анықтайды. Жергілікті түрде ол "жазық", "Евклидтік" суперкеңістік сияқты көрінетін координаттық карталардан тұрады. Бұл жергілікті координаттар көбінесе былай белгіленеді:
мұнда x – (нақты санмен бағаланған) кеңістік-уақыт координатасы, ал және – Грасманмен бағаланған кеңістіктік "бағыттар". Грасманмен бағаланған координаттардың физикалық мағынасы талқылауға ашық; суперсимметрияны іздеуге бағытталған эксперименттердің нәтижесінде оң нәтижелер алынбады. Дегенмен, Грасман айнымалыларын пайдалану көптеген маңызды математикалық нәтижелерді едәуір жеңілдетуге мүмкіндік береді. Бұған функционалдық интегралдардың ықшам анықтамасы, BRST квантталуындағы "көлеңкелерді" дұрыс қарастыру, кванттық өріс теориясындағы шексіздіктерді жою, Виттеннің Атия-Сингер индексі теоремасы жұмысы және жақында ғана айналы симметрияға қолданылуы кіреді. Грасманмен бағаланған координаттарды қолдану суперматематика саласын дамытты, онда геометрияның үлкен бөлігі супер эквиваленттерге жалпыланады, соның ішінде Риман геометриясының көп бөлігі және Ли топтары мен Ли алгебралары теориясының көп бөлігі (мысалы, Ли супералгебралары және т.б.). Алайда, де Рам когомологиясын суперкөптүрліліктерге дұрыс кеңейту сияқты мәселелер әлі де бар.
Анықтама
Суперкөптүрліктердің үш түрлі анықтамасы қолданылады. Бір анықтама – сақиналы кеңістіктегі қаптама; бұл кейде "алгебралық-геометриялық тәсіл" деп аталады. Бұл тәсіл математикалық әсемдікке ие, бірақ түрлі есептеулерде және интуитивті түсініктерде қиындықтар тудыруы мүмкін. Екінші тәсілді "нақты тәсіл" деп атауға болады, ал үшінші тәсіл суперкөптүрлікті супернүкте топосының негізі ретінде сипаттайды. Бұл тәсіл қазіргі таңда белсенді зерттеу нысаны болып табылады.
A third approach describes a supermanifold as a base topos of a superpoint. This approach remains the topic of active research.
Алгебра-геометриялық: буып-түйіп
Суперкөптүрліліктер коммутативті емес көптүрліліктердің ерекше жағдайлары болғанымен, олардың жергілікті құрылымы стандартты дифференциалдық геометрияның құралдарымен және жергілікті сақиналы кеңістіктермен зерттеуге оларды ыңғайлырақ етеді. (p,q) өлшемді суперкөптүрлілік M – бұл супералгебралардың шоғыры бар топологиялық кеңістік M, әдетте OM немесе C∞(M) деп белгіленеді, ол q генератордағы Грассман (сыртқы) алгебраға жергілікті изоморфты болады. (1,1) өлшемді суперкөптүрлілік кейде супер Риман беті деп аталады. Тарихи тұрғыдан алғанда, бұл тәсіл Феликс Березин, Димитрий Лейтес және Бертрам Костант есімдерімен байланысты.
Бетон: тегіс коллектор ретінде
Басқа бір анықтама суперманифольдты тегіс манифольдқа ұқсас етіп сипаттайды, бірақ модельдік кеңістік модельдік суперкеңістікпен алмастырылады. Бұны дұрыс анықтау үшін және нені түсіндіру қажет. Олар Грасман сандарының бірөлшемді кеңістігінің жұп және тақ нақты кіші кеңістіктері ретінде беріледі, олар конвенция бойынша, санаулы шексіз антикоммутациялық айнымалылармен туындайды: яғни бірөлшемді кеңістік V шексіз өлшемді болатын жерде берілген. z элементі егер нақты деп аталады; тек жұп Грасман генераторларынан тұратын нақты элементтер c сандарының кеңістігін құрайды, ал тек тақ Грасман генераторларынан тұратын нақты элементтер a сандарының кеңістігін құрайды. c сандары коммутациялайтынын, ал a сандары антикоммутациялайтынын ескеріңіз. Содан кейін және кеңістіктері және кеңістіктерінің p және q реттегі декарт көбейтінділері ретінде анықталады.
Қалыпты манифольдтағыдай, суперманифольд дифференциалданатын өту функцияларымен біріктірілген кестелер жиынтығы ретінде анықталады. Батчелор теоремасының дәлелі бірлік бөлінісінің болуына маңызды түрде сүйенгендіктен, ол күрделі немесе нақты аналитикалық суперманифольдтар үшін қолданылмайды.
To correctly define this, it is necessary to explain what and are. These are given as the even and odd real subspaces of the one dimensional space of Grassmann numbers, which, by convention, are generated by a countably infinite number of anti commuting variables: i. e. the one dimensional space is given by where V is infinite dimensional. An element z is termed real if ; real elements consisting of only an even number of Grassmann generators form the space of c numbers, while real elements consisting of only an odd number of Grassmann generators form the space of a numbers. Note that c numbers commute, while a numbers anti commute. The spaces and are then defined as the p fold and q fold Cartesian products of and
Just as in the case of an ordinary manifold, the supermanifold is then defined as a collection of charts glued together with differentiable transition functions. The proof of Batchelor's theorem relies in an essential way on the existence of a partition of unity, so it does not hold for complex or real analytic supermanifolds.
P және SP-көптік
Дарбукс теоремасын тақ симплектикалық нысандар үшін қолдану арқылы, P манифольдтары суперкеңістіктердің ашық жиындарынан құралатынын, олар P түрлендірулерімен біріктірілгенін көрсетуге болады. Егер осы ауысу функцияларын SP түрлендірулері ретінде таңдау мүмкін болса, онда манифольд SP манифольды деп аталады. Балама ретінде, SP манифольдын оқшауланған 2-формасы ω және тығыздық функциясы ρ бар суперманифольд ретінде анықтауға болады, мұнда әрбір координаттық жапсырмада ρ бірге тең болатын Дарбукс координаттары бар.