Введение
Суперсимметричное обобщение многообразий
В физике и математике супермногообразия являются обобщениями понятия многообразия, основанными на идеях, пришедших из суперсимметрии. Существует несколько определений, некоторые из которых описаны ниже.
In physics and mathematics, supermanifolds are generalizations of the manifold concept based on ideas coming from supersymmetry. Several definitions are in use, some of which are described below.
Неофициальное определение
Неофициальное определение обычно используется в учебниках по физике и вводных лекциях. Оно определяет супермногообразие как многообразие с бозонными и фермионными координатами. Локально оно состоит из координатных атласов, благодаря которым оно выглядит как "плоское", "евклидово" суперпространство. Эти локальные координаты часто обозначаются как
где x – (принимающая вещественные значения) координата пространства-времени, а и – "направления" пространства, принимающие значения Грассмана. Физическая интерпретация координат, принимающих значения Грассмана, остаётся предметом дискуссий; прямые экспериментальные поиски суперсимметрии не дали положительных результатов. Однако использование переменных Грассмана позволяет значительно упростить ряд важных математических результатов. Это включает в себя, в частности, компактное определение функциональных интегралов, корректную обработку призрачных частиц в BRST-квантовании, устранение бесконечностей в квантовой теории поля, работы Виттена по теореме об индексе Атия-Зингера и более поздние применения к зеркальной симметрии. Использование координат, принимающих значения Грассмана, породило область суперматематики, в которой значительные части геометрии могут быть обобщены до суперэквивалентов, включая большую часть римановой геометрии и почти всю теорию групп Ли и алгебр Ли (таких как супералгебры Ли и т.д.). Однако остаются нерешённые вопросы, включая корректное расширение кохомологии де Рама на супермногообразия.
Определение
Существует три различных определения суперманифолдов. Одно определение — как пучок над кольцевым пространством; это иногда называют «алгебро-геометрическим подходом». Этот подход обладает математической элегантностью, но может быть затруднительным в различных вычислениях и для интуитивного понимания. Второй подход можно назвать «конкретным подходом».
Третий подход описывает суперманифольд как базовый топос суперточки. Этот подход остаётся предметом активных исследований.
Алгебро-геометрический: в виде снопа
Хотя супермногообразия являются частными случаями некомутативных многообразий, их локальная структура делает их более подходящими для изучения с помощью инструментов стандартной дифференциальной геометрии и локально кольцевых пространств. Супермногообразие M размерности (p,q) – это топологическое пространство M с пучком супералгебр, обычно обозначаемым OM или C∞(M), локально изоморфным , где последняя является алгеброй Грассмана (внешней) на q образующих. Супермногообразие M размерности (1,1) иногда называют супер-римановой поверхностью. Исторически этот подход связан с Феликсом Березиным, Дмитрием Лейтесом и Бертрамом Костантом.
Бетон: в виде гладкого коллектора
Другое определение описывает супермногообразие аналогично гладкому многообразию, за исключением того, что модельное пространство заменено модельным суперпространством. Для корректного определения этого необходимо объяснить, что такое и . Они задаются как четные и нечетные вещественные подпространства одномерного пространства чисел Грассмана, которые, по соглашению, порождаются счетным бесконечным числом антикоммутирующих переменных: то есть, одномерное пространство задается как , где V – бесконечномерное. Элемент z называется вещественным, если ; вещественные элементы, состоящие только из четного числа генераторов Грассмана, образуют пространство c-чисел, а вещественные элементы, состоящие только из нечетного числа генераторов Грассмана, образуют пространство a-чисел. Следует отметить, что c-числа коммутируют, а a-числа антикоммутируют. Пространства и затем определяются как p-кратные и q-кратные декартовы произведения и .
To correctly define this, it is necessary to explain what and are. These are given as the even and odd real subspaces of the one dimensional space of Grassmann numbers, which, by convention, are generated by a countably infinite number of anti commuting variables: i. e. the one dimensional space is given by where V is infinite dimensional. An element z is termed real if ; real elements consisting of only an even number of Grassmann generators form the space of c numbers, while real elements consisting of only an odd number of Grassmann generators form the space of a numbers. Note that c numbers commute, while a numbers anti commute. The spaces and are then defined as the p fold and q fold Cartesian products of and
Just as in the case of an ordinary manifold, the supermanifold is then defined as a collection of charts glued together with differentiable transition functions. The proof of Batchelor's theorem relies in an essential way on the existence of a partition of unity, so it does not hold for complex or real analytic supermanifolds.
Как и в случае обычного многообразия, супермногообразие определяется как набор карт, склеенных вместе дифференцируемыми функциями перехода. Доказательство теоремы Батчелора существенно опирается на существование разбиения единицы, поэтому оно не применимо к комплексным или вещественно-аналитическим супермногообразиям.
To correctly define this, it is necessary to explain what and are. These are given as the even and odd real subspaces of the one dimensional space of Grassmann numbers, which, by convention, are generated by a countably infinite number of anti commuting variables: i. e. the one dimensional space is given by where V is infinite dimensional. An element z is termed real if ; real elements consisting of only an even number of Grassmann generators form the space of c numbers, while real elements consisting of only an odd number of Grassmann generators form the space of a numbers. Note that c numbers commute, while a numbers anti commute. The spaces and are then defined as the p fold and q fold Cartesian products of and
Just as in the case of an ordinary manifold, the supermanifold is then defined as a collection of charts glued together with differentiable transition functions. The proof of Batchelor's theorem relies in an essential way on the existence of a partition of unity, so it does not hold for complex or real analytic supermanifolds.
П- и СП-манифольды
Используя теорему Дарбукса для нечетных симплектических форм, можно показать, что P-многообразия строятся из открытых множеств суперпространств, склеенных P-преобразованиями. Многообразие называется SP-многообразием, если эти функции перехода могут быть выбраны в качестве SP-преобразований. Эквивалентно, SP-многообразие можно определить как супермногообразие с вырожденной нечетной 2-формой ω и функцией плотности ρ, такой что на каждой координатной окрестности существуют координаты Дарбукса, в которых ρ тождественно равна единице.