Кіріспе

Математикалық функцияның қасиеті

Математикада, әсіресе комплекс сараптауда, қалдық – бұл оның бір ерекше нүктесін қоршап тұратын контур бойындағы мероморфты функцияның контурлық интегралына пропорционал кешенді сан. (Көбірек айтқанда, қалдықтарды дискретті {{ak}k} нүктелерінен басқа голоморфты болатын кез келген функция үшін есептеуге болады, тіпті олардың кейбіреулері маңызды ерекшеліктер болса да.) Қалдықтарды есептеу өте оңай, ал белгілі болғаннан кейін қалдық теоремасы арқылы жалпы контурлық интегралдарды анықтауға болады.

Анықтама

Мероморфтық функцияның оқшауланған сингулярлықтағы қалдығы, көбінесе , , немесе деп белгіленеді, – бұл нүктеленген дискте аналитикалық антитуындысы бар бірегей мән. Басқаша айтқанда, қалдықтарды Лоран қатарларын кеңейту арқылы есептеуге болады, ал қалдық Лоран қатарының a−1 коэффициенті ретінде анықталады. Бұл түсінік қалдық теоремасында қарастырылатын белгілі бір контурлық интеграл есептерінің контурлық интеграл мәндерін табу үшін қолданылуы мүмкін. Қалдық теоремасына сәйкес, мероморфтық функция үшін нүктедегі қалдық былай беріледі: мұнда – нүктесінің айналасындағы оң бағытталған жабық контур, контурдың ішінде немесе оның бойында басқа ерекшеліктер жоқ. Қалдық анықтамасын кез келген Риман беттеріне жалпылауға болады. Риман бетінде 1-форма болсын. Бір нүктеде мероморфты болсын, сонда оны жергілікті координаттарда былай жазуға болады. Содан кейін, нүктесіндегі -ның қалдығы, нүктеге сәйкес келетін нүктедегі -ның қалдығы ретінде анықталады.

Лоран сериясына жалпылау

Егер функция c нүктесінің айналасындағы Лоран қатарының кеңдеуі былай берілсе: Онда, c нүктесіндегі қалдық мына формуланы қолдану арқылы есептеледі: c нүктесінің айналасындағы кері сағат тілімен интегралдаудың нәтижесін пайдаланып. Сондықтан, егер функцияның c нүктесінің айналасында Лоран қатарының бейнелеуі болса, онда оның c нүктесіндегі қалдығы сол терминнің коэффициентімен анықталады.

Қалдық теоремасының қолданылуы

Мероморфтық функция үшін , оң бағытталған жабық қарапайым контур ішінде шекті жиынтығы бар ерекшеліктердің, контурдың ішіндегі ерекшеліктер арқылы өтпейтін, контурлы интегралдың мәні қалдық теоремасы бойынша келесідей беріледі: мұндағы , орам саны, егер контурдың ішінде болса, ал болмаса, келесіге дейін қарапайымдалады: мұндағы - контур ішіндегі барлық оқшауланған ерекшеліктер.

Алып тасталатын сингулярлықтар

Егер f функциясы бүкіл дискіде голоморфты функцияға жалғастырылса, онда Res(f, c) = 0. Керісінше, жалпы жағдайда дұрыс емес.

3-ші мысал

Келесі мысал реттік кеңейту арқылы қалдық есептеуде Лагранж инверсия теоремасының маңызды рөл атқаратынын көрсетеді. Letbe толық функция болсын, және letwith оң радиусы бар, және So 0 нүктесінде жергілікті керісі бар, және 0 нүктесінде мероморфты. Онда бізде: шындығында, өйткені бірінші қатар 0 нүктесінің айналасындағы кез келген кіші шеңберде біркелкі түрде жинақталады. Лагранж инверсия теоремасын қолданып, жоғарыдағы өрнекті аламыз. Мысалы, егер және де болса, онда және. Бірінші мүше қалдыққа 1 үлесін қосады, ал екінші мүше 2 үлесін қосады, себебі ол асимптотикалық. Егер және туралы симметриялық шарттар күштірек болса, онда да осылай болады, мұнда – 0 нүктесінде функцияның жергілікті керісі.