Введение

Атрибут математической функции

В математике, в частности в комплексном анализе, остаток — это комплексное число, пропорциональное контурному интегралу мероморфной функции вдоль контура, охватывающего одну из её сингулярностей. (В более общем случае, остатки могут быть вычислены для любой функции, голоморфной за исключением дискретных точек {ak}k, даже если некоторые из них являются существенными сингулярностями.) Остатки можно вычислить достаточно легко и, будучи вычисленными, позволяют определить значения общих контурных интегралов с помощью теоремы об остатках.

Определение

Остатком мероморфной функции в изолированной сингулярности, часто обозначаемым , , или , является единственное значение, такое, что имеет аналитическую первообразную в проколотом диске.

В качестве альтернативы, остатки можно вычислить, находя разложения в ряд Лорана, и остаток можно определить как коэффициент a−1 в ряде Лорана. Эта концепция может быть использована для вычисления значений контурного интегрирования в задачах, рассматриваемых в теореме об остатках. Согласно теореме об остатках, для мероморфной функции остаток в точке задается как:

где – положительно ориентированная простая замкнутая кривая вокруг , не включающая никаких других сингулярностей на самой кривой или внутри нее. Определение остатка можно обобщить на произвольные римановы поверхности. Пусть – 1-форма на римановой поверхности. Пусть будет мероморфной в некоторой точке , так что мы можем записать ее в локальных координатах как Тогда остаток в точке определяется как остаток в точке, соответствующей .

Обобщение на серии Лоранта

Если функция представлена рядом Лорана в окрестности точки c следующим образом: то остаток в точке c вычисляется как: используя результаты вычисления контурного интеграла моночлена для обхода контура против часовой стрелки вокруг точки c. Таким образом, если для функции существует разложение в ряд Лорана в окрестности точки c, то её остаток в этой точке определяется коэффициентом при члене .

Применение в теореме остатков

Для мероморфной функции , с конечным множеством сингулярностей внутри положительно ориентированной простой замкнутой кривой , не проходящей через какие-либо сингулярности, значение контурного интеграла, согласно теореме о вычетах, задается как: где , число витков, равно 1, если находится внутри и -1, если нет, что упрощается до: где – все изолированные сингулярности внутри контура .

Устранимые сингулярности

Если функция f может быть продолжена до голоморфной функции на всем диске, то Res(f, c) = 0. Обратное, как правило, неверно.

Пример 3

Следующий пример показывает, что при вычислении остатка разложением в ряд основную роль играет теорема об обращении Лагранжа. Пусть f — целая функция, и пусть g с положительным радиусом сходимости, и с g(0) = 0. Тогда f имеет локальную обратную функцию на 0, и g мероморфна в 0. Тогда мы имеем: Действительно, потому что первый ряд сходится равномерно на любой достаточно малой окружности вокруг 0. Используя теорему об обращении Лагранжа, мы получаем вышеуказанное выражение. Например, если f(z) = z и g(z) = z^2, то f⁻¹(z) = z и g⁻¹(z) = √z. Первый член вносит вклад 1 в остаток, а второй член вносит вклад 2, поскольку он асимптотичен при z → 0. Отметим, что при соответствующих более сильных симметричных предположениях о f и g также следует формула, где h — локальная обратная функция к g в 0.