Кіріспе
Бұрыш жартысының тангенсін толық бұрыштың тригонометриялық функцияларымен байланыстырады. Тригонометрияда тангенс жарты бұрыш формулалары бұрыш жартысының тангенсін толық бұрыштың тригонометриялық функцияларымен байланыстырады. Бұрыш жартысының тангенсі – бұрыш радиандарындағы нүкте арқылы өтетін шеңбердің бұрыштар түзуіне стереографиялық проекциясы. Осы формулалардың арасында келесілері бар: Олардан синус, косинус және тангенсті жарты бұрыштардың тангенстері арқылы өрнектейтін теңбе-теңдіктер туындайды.
In trigonometry, tangent half angle formulas relate the tangent of half of an angle to trigonometric functions of the entire angle. The tangent of half an angle is the stereographic projection of the circle through the point at angle radians onto the line through the angles Among these formulas are the following:
From these one can derive identities expressing the sine, cosine, and tangent as functions of tangents of half angles:
Рационалдық мәндер мен Пифагор үштігі
А, б, с ұзындығы оң бүтін сандар болып табылатын және қанағаттандыратын Пифагор үшбұрышынан бастағанда, үшбұрыштың әрбір ішкі бұрышының синусы мен косинусы рационалдық мәндерге ие болады, себебі олар жақтарының ұзындықтарының қатынастарынан тұрады. Осылайша, әрбір бұрыштың жарты бұрыштық тангенсі де рационалдық мәнге ие. Керісі де дұрыс: егер 90°-қа тең екі оң бұрыш болса, олардың әрқайсысының жарты бұрыштық тангенсі рационалды болса, ал үшінші бұрыш тік бұрыш болса, онда осы ішкі бұрыштармен үшбұрышты Пифагор үшбұрышына дейін өзгертуге болады. Егер үшінші бұрыш тік бұрыш болуы міндетті болмаса, бірақ үш оң бұрыштың қосындысы 180°-қа тең болса, онда үшінші бұрыштың жарты бұрыштық тангенсі де рационалдық сан болады (тангенске қосу және алу формулаларын қолдану арқылы), және үшбұрышты Герон үшбұрышына дейін өзгертуге болады. Жалпы, егер K – комплекс сандардың ішкі домені болса, онда бұл дегеніміз .
The reverse is also true. If there are two positive angles that sum to 90°, each with a rational half angle tangent, and the third angle is a right angle then a triangle with these interior angles can be scaled to a Pythagorean triangle. If the third angle is not required to be a right angle, but is the angle that makes the three positive angles sum to 180° then the third angle will necessarily have a rational number for its half angle tangent when the first two do (using angle addition and subtraction formulas for tangents) and the triangle can be scaled to a Heronian triangle. Generally, if K is a subfield of the complex numbers then implies that .