Введение
Соотносит тангенс половины угла с тригонометрическими функциями всего угла. В тригонометрии формулы половинного угла связывают тангенс половины угла с тригонометрическими функциями всего угла. Тангенс половины угла является стереографической проекцией окружности, проходящей через точку с углом в радианах, на прямую, проходящую через углы. На основе этих формул можно вывести тождества, выражающие синус, косинус и тангенс как функции тангенсов половинных углов:
In trigonometry, tangent half angle formulas relate the tangent of half of an angle to trigonometric functions of the entire angle. The tangent of half an angle is the stereographic projection of the circle through the point at angle radians onto the line through the angles Among these formulas are the following:
From these one can derive identities expressing the sine, cosine, and tangent as functions of tangents of half angles:
Рациональные значения и пифагорейские тройники
Начиная с пифагорейского треугольника со сторонами a, b и c, являющимися положительными целыми числами и удовлетворяющими , сразу следует, что синус и косинус каждого внутреннего угла треугольника являются рациональными числами, поскольку они представляют собой просто отношения длин сторон. Следовательно, тангенс половинного угла для каждого из этих углов также рационален, используя формулу тангенса половинного угла. Обратное также верно. Если существуют два положительных угла, сумма которых равна 90°, и каждый из них имеет рациональный тангенс половинного угла, а третий угол – прямой, то треугольник с этими внутренними углами можно масштабировать до пифагорейского треугольника. Если третий угол не обязательно должен быть прямым, но является углом, обеспечивающим сумму всех трех положительных углов, равную 180°, то третий угол также будет иметь рациональное значение тангенса половинного угла (используя формулы сложения и вычитания тангенсов), и треугольник можно масштабировать до геронова треугольника. В общем случае, если K является подполем комплексных чисел, то влечет за собой, что .
The reverse is also true. If there are two positive angles that sum to 90°, each with a rational half angle tangent, and the third angle is a right angle then a triangle with these interior angles can be scaled to a Pythagorean triangle. If the third angle is not required to be a right angle, but is the angle that makes the three positive angles sum to 180° then the third angle will necessarily have a rational number for its half angle tangent when the first two do (using angle addition and subtraction formulas for tangents) and the triangle can be scaled to a Heronian triangle. Generally, if K is a subfield of the complex numbers then implies that .