Кіріспе
Арифметикалық функция. Сандар теориясында, өнімдерді сақтайтын оң бүтін сандардың функциялары маңызды және олар толық көбейту функциялары немесе толық мультипликативті функциялары деп аталады. Одан әлсіз шарт та маңызды, ол тек өзара жай сандардың көбейтінділерін ғана сақтайды, және мұндай функциялар мультипликативті функциялар деп аталады. Сандар теориясынан тыс, "мультипликативті функция" термині көбінесе осы мақалада анықталғандай "толық мультипликативті функция" терминімен бірдей мағынада қолданылады.
In number theory, functions of positive integers which respect products are important and are called completely multiplicative functions or totally multiplicative functions. A weaker condition is also important, respecting only products of coprime numbers, and such functions are called multiplicative functions. Outside of number theory, the term "multiplicative function" is often taken to be synonymous with "completely multiplicative function" as defined in this article.
Анықтама
Толық көбейту функциясы (немесе толық көбейту функциясы) – арифметикалық функция (яғни, құрамы натурал сандардан тұратын функция), онда f(1) = 1 және барлық оң бүтін сандар a мен b үшін f(ab) = f(a)f(b) теңдігі орындалады. Логикалық жазбада: және . f(1) = 1 деген талап болмаса, f(1) = 0 болуы мүмкін, бірақ онда барлық оң бүтін сандар a үшін f(a) = 0 болады, сондықтан бұл аса қатаң шектеу емес. Егер бекітілмесе, онда келесідей жолмен мәнінің екі мүмкіндігі де бар екенін көруге болады: Жоғарыдағы анықтаманы алгебра тілінде былай түсіндіруге болады: толық көбейту функциясы – моноидтан (яғни, көбейту бойынша натурал сандар жиынынан) басқа моноидқа гомоморфизм.
Without the requirement that f(1) = 1, one could still have f(1) = 0, but then f(a) = 0 for all positive integers a, so this is not a very strong restriction. If one did not fix , one can see that both and are possibilities for the value of in the following way:
The definition above can be rephrased using the language of algebra: A completely multiplicative function is a homomorphism from the monoid (that is, the positive integers under multiplication) to some other monoid.
Мысалдар
Толық көбейту функциясының ең қарапайым мысалы – жетекші коэффициенті 1-ге тең мономиал: кез келген оң бүтін сан n үшін f(a) = aⁿ деп анықтаңыз. Онда f(bc) = (bc)ⁿ = bⁿcⁿ = f(b)f(c), және f(1) = 1ⁿ = 1. Лиувилл функциясы – Дирихле белгілері, Якоби символы және Лежандр символы сияқты толық көбейту функциясының тривиальді емес мысалы болып табылады.
Қасиеттері
Толық көбейту функциясы оның жай сандардағы мәндерімен толық анықталады, бұл арифметиканың негізгі теоремасының салдары. Сондықтан, егер n жай сандардың дәрежелерінің көбейтіндісі болса, мысалы, n = pa qb болса, онда f(n) = f(p)a f(q)b.
Екі көбейту функциясының Дирихле конволюциясы көбейтілсе, екі толық көбейту функциясының Дирихле конволюциясы міндетті түрде толық көбейтілмейді. Функцияға қатысты, оның толық көбейтуші функцияға тең болуына баламалы түрлі мәлімдемелер бар. Мысалы, егер f функциясы көбейтілсе, онда ол толық көбейтілген болады, егер оның Дирихле инверсі Мёбиус функциясы болса. Толық көбейту функциялары да тарату заңын қанағаттандырады. Егер f толық көбейтілсе, онда
мұнда * Дирихле көбейтіндісін, ал • нүктелік көбейтуді білдіреді. Мұның бір салдары – f-тің кез келген толық көбейту функциясы үшін:
бұл жоғарыда айтылғаннан, екісін де қоса алғанда, тұрақты функциясы болғанда шығарылады. Бұл бөлгіш функциясы.