Введение
Арифметическая функция
In number theory, functions of positive integers which respect products are important and are called completely multiplicative functions or totally multiplicative functions. A weaker condition is also important, respecting only products of coprime numbers, and such functions are called multiplicative functions. Outside of number theory, the term "multiplicative function" is often taken to be synonymous with "completely multiplicative function" as defined in this article.
В теории чисел важны функции положительных целых чисел, сохраняющие произведения, и они называются полностью мультипликативными функциями или тотально мультипликативными функциями. Важным также является более слабое условие, касающееся только произведений взаимно простых чисел, и такие функции называются мультипликативными функциями. За пределами теории чисел термин "мультипликативная функция" часто используется как синоним "полностью мультипликативной функции", как это определено в данной статье.
In number theory, functions of positive integers which respect products are important and are called completely multiplicative functions or totally multiplicative functions. A weaker condition is also important, respecting only products of coprime numbers, and such functions are called multiplicative functions. Outside of number theory, the term "multiplicative function" is often taken to be synonymous with "completely multiplicative function" as defined in this article.
Определение
Полностью мультипликативная функция (или тотально мультипликативная функция) — это арифметическая функция (то есть функция, область определения которой — натуральные числа), такая, что f(1) = 1 и f(ab) = f(a)f(b) для всех положительных целых чисел a и b. В логической записи: и . Без требования, что f(1) = 1, можно было бы иметь f(1) = 0, но тогда f(a) = 0 для всех положительных целых чисел a, поэтому это не очень существенное ограничение. Если не фиксировать f(1), можно увидеть, что оба значения 0 и 1 возможны для значения f(1) следующим образом: Определение выше можно перефразировать, используя язык алгебры: полностью мультипликативная функция является гомоморфизмом из моноида (то есть положительных целых чисел относительно умножения) в некоторый другой моноид.
Without the requirement that f(1) = 1, one could still have f(1) = 0, but then f(a) = 0 for all positive integers a, so this is not a very strong restriction. If one did not fix , one can see that both and are possibilities for the value of in the following way:
The definition above can be rephrased using the language of algebra: A completely multiplicative function is a homomorphism from the monoid (that is, the positive integers under multiplication) to some other monoid.
Примеры
Самый простой пример полностью мультипликативной функции — это мономиал с ведущим коэффициентом 1: для любого конкретного положительного целого числа n определим f(a) = aⁿ. Тогда f(bc) = (bc)ⁿ = bⁿcⁿ = f(b)f(c), и f(1) = 1ⁿ = 1. Функция Лиувиля является нетривиальным примером полностью мультипликативной функции, как и символы Дирихле, символ Якоби и символ Лежандра.
Свойства
Полностью мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в простых числах, что является следствием фундаментальной теоремы арифметики. Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = pᵃqᵇ, то f(n) = f(p)ᵃf(q)ᵇ.
В то время как свёртка Дирихле двух мультипликативных функций является мультипликативной, свёртка Дирихле двух полностью мультипликативных функций не обязана быть полностью мультипликативной. Существует множество утверждений о функции, эквивалентных её полной мультипликативности. Например, если функция f мультипликативна, то она полностью мультипликативна тогда и только тогда, когда её обратная свёртка Дирихле равна , где – функция Мёбиуса. Полностью мультипликативные функции также удовлетворяют дистрибутивному закону. Если f полностью мультипликативна, то
где * обозначает свёртку Дирихле, а обозначает поточечное умножение. Следствием этого является то, что для любой полностью мультипликативной функции f справедливо
, что можно вывести из вышесказанного, подставив оба , где – постоянная функция. Здесь – функция делителей.