Кіріспе

Математикалық функция

Математикалық талдауда, геометрия, қолданбалы математика, инженерия және табиғат ғылымдарындағы қолданыстарда, нақты айнымалының функциясы – домені нақты сандар немесе оң ұзындығы бар интервалды қамтитын оның ішкі жиыны болып табылады. Қарастырылып, зерттелетін көптеген нақты функциялар белгілі бір аралықта туындыланады. Мұндай функциялардың ең көп тарағандары – нақты функциялар, яғни нақты айнымалының нақты мәнді функциялары, атап айтқанда, кодоменасы нақты сандар жиыны болатын функциялар. Дегенмен, нақты айнымалының функциясының кодоменасы кез келген жиын болуы мүмкін. Бірақ, көбінесе ол нақты сандар үстіндегі векторлық кеңістік құрылымына ие деп есептеледі. Яғни, кодомена – Евклид кеңістігі, координаталық вектор, белгілі бір өлшемдегі нақты сандардың матрицалары жиыны немесе кешенді сандар немесе кватерниондар сияқты алгебра болуы мүмкін. Кодоменнің векторлық кеңістік құрылымы функцияларға да векторлық кеңістік құрылымын береді. Егер кодомен алгебралық құрылымға ие болса, функциялар үшін де солай. Нақты айнымалының функциясының мәндер жиыны кодоменде қисық түзеді. Осы контексте, қисықты анықтайтын функция – қисықтың параметрлік теңдеуі деп аталады. Нақты айнымалының функциясының кодоменасы шекті өлшемді векторлық кеңістік болған жағдайда, функцияны нақты функциялар тізбегі ретінде қарастыруға болады. Бұл қолданыстарда жиі қолданылады.

Нақты функция

Нақты функция — бұл нақты сандар жиынынан алынған жиыңның ішкі жиынынан функция. Яғни, нақты функцияның анықталу облысы — бұл ішкі жиын, ал оның мәндер жиыны — нақты сандар жиыны. Әдетте, анықталу облысы оң ұзындықтағы интервалды қамтиды деп есептеледі.

Сурет

Функцияның мәндер жиыны – x айнымалысы функцияның бүкіл анықталу облысын қамтығандағы f-тің барлық мәндерінің жиынтығы. Үзіліссіз (анықтамасы төменде келтірілген) нақты мәнді функцияның байланысқан анықталу облысы болған жағдайда, мәндер жиыны интервал немесе жалғыз мән болады. Екінші жағдайда функция тұрақты функция болып табылады. Берілген нақты сан y-тың кері бейнесі – 1=y = f(x) теңдеуінің шешімдерінің жиынтығы.

Домен

Бірнеше нақты айнымалылардың функциясының домені, кейде нақты анықталатын, оның кіші жиыны болып табылады. Шындығында, егер f функциясының X доменін Y ⊂ X кіші жиынымен шектейтін болсақ, формальды түрде басқа функция аламыз – f функциясының Y-ға шектелуі, ол f|Y деп белгіленеді. Іс жүзінде, f және f|Y-ны бірдей қарастыру және |Y индексін жіберу көбінесе зиян келтірмейді. Керісінше, кейде берілген функцияның доменін табиғи түрде кеңейту мүмкін, мысалы, үздіксіздік немесе аналитикалық жалғастыру арқылы. Осыдан, нақты айнымалы функциясының доменін нақты анықтаудың қажеті жоқ екенін түсінеміз.

Теоремалар

Интеграл және туындының анықтамалары арқылы негізгі теоремаларды, оның ішінде есептеудің негізгі теоремасын, интегралдаудың бөліктері арқылы және Тейлор теоремасын формулировать (жасауға) болады. Интегралдар мен туындылардың қоспасын бағалау үшін интеграл белгісі астындағы дифференциалдау теоремасын қолдануға болады.

Бұрыштың тангенстік сызығы

Кейбір тұрақты t = c нүктесінде, қисыққа сол нүктеде жүргізілген бір өлшемді жанама сызықтың теңдеулері r1(t), r2(t), ..., rn(t) және r функцияларының t-ға қатысты ең қарапайым туындылары арқылы беріледі:

Кинематикаға қатысты

dr(t)/dt физикалық және геометриялық интерпретациясы – бұл r(t) жолымен қозғалатын нүкте тәрізді бөлшектің "жылдамдығы", мұнда r уақыт t бойынша параметрленген кеңістіктегі орналасқан координаттар векторы, ал бұл вектор барлық t үшін кеңістіктегі қисыққа жанасатын және қозғалыс бағытындағы вектор болып табылады. t = c болғанда, кеңістіктегі қисық сызықтың жанама векторы болады, ал t = c нүктесіндегі кеңістіктегі қисық сызыққа нормальді гипержазықтық та t = c нүктесіндегі жанамаға нормальді болады. Осы жазықтықтағы кез келген (p − a) векторы нормальді болуы керек. Сол сияқты, d2r(t)/dt2 – бөлшектің "үдеуі", және бұл қисықтық радиусы бойымен бағытталған қисыққа нормальді вектор.

Матрицалық бағаланған функциялар

Матрица бір айнымалының функциясы болып табылуы мүмкін. Мысалы, 2D айналу матрицасы – бұл бастапқы нүктеге қатысты айналу бұрышына тәуелді матрицалық функция. Сол сияқты, арнайы салыстырмалылық теориясында, айналусыз таза жылдамдық беруге арналған Лоренц трансформация матрицасы: жылдамдық параметрі β = v/c функциясы болып табылады, мұнда v – екі санақ жүйесі арасындағы салыстырмалы жылдамдық (үздіксіз өзгеріс), ал c – жарық жылдамдығы, тұрақты шама.

Банах пен Хилберт кеңістіктері және кванттық механика

Алдыңғы бөлімді жалпылағанда, нақты айнымалының функциясының нәтижесі Банах кеңістігінде немесе Хилберт кеңістігінде орналасуы мүмкін. Бұл кеңістіктерде бөлу, көбейту және лимиттер анықталған, сондықтан туынды және интеграл сияқты түсініктер де қолданылады. Бұл, әсіресе кванттық механикада жиі кездеседі, онда кет немесе оператордың туындысы алынады. Мысалы, бұл жалпы уақытқа тәуелді Шредингер теңдеуінде кездеседі: онда толқындық функцияның туындысы алынады, ол бірнеше түрлі Хилберт кеңістіктерінің мүшесі болуы мүмкін.