Введение

Математическая функция

В математическом анализе и приложениях в геометрии, прикладной математике, инженерии и естественных науках функция вещественной переменной – это функция, областью определения которой являются действительные числа или подмножество, содержащее интервал положительной длины. Большинство вещественных функций, которые рассматриваются и изучаются, дифференцируемы на некотором интервале. Наиболее часто рассматриваемыми такими функциями являются вещественнозначные функции вещественной переменной, то есть функции вещественной переменной, область значений которой является множеством действительных чисел. Тем не менее, область значений функции вещественной переменной может быть любым множеством. Однако часто предполагается, что оно имеет структуру векторного пространства над действительными числами. То есть область значений может быть евклидовым пространством, координатным вектором, множеством матриц действительных чисел заданного размера или алгеброй, такой как комплексные числа или кватернионы. Векторно-пространственная структура области значений индуцирует векторно-пространственную структуру на множестве функций. Если область значений имеет структуру алгебры, то же самое справедливо и для множества функций. Образ функции вещественной переменной представляет собой кривую в области значений. В этом контексте функция, определяющая кривую, называется параметрическим уравнением этой кривой. Когда область значений функции вещественной переменной является конечномерным векторным пространством, функцию можно рассматривать как последовательность вещественных функций. Это часто используется в приложениях.

Реальная функция

Реальная функция — это функция, отображающая подмножество множества вещественных чисел в множество вещественных чисел. То есть, область определения реальной функции является подмножеством множества вещественных чисел, а область значений — множество вещественных чисел. Обычно предполагается, что область определения содержит интервал положительной длины.

Изображение

Образ функции — это множество всех значений, которые принимает функция f, когда переменная x изменяется во всей области определения f. Для непрерывной (см. определение ниже) вещественнозначной функции с областью определения, являющейся связным множеством, образ является либо интервалом, либо единственным числом. В последнем случае функция является постоянной. Прообраз данного действительного числа y — это множество решений уравнения f(x) = y.

Домен

Область определения функции нескольких вещественных переменных является подмножеством, которое иногда задается явно. Действительно, если область определения X функции f ограничить подмножеством Y ⊂ X, то формально получается другая функция – ограничение f на Y, которое обозначается f|Y. На практике часто не повредит отождествлять f и f|Y и опускать индекс |Y. Обратно, иногда возможно естественным образом расширить область определения заданной функции, например, посредством непрерывности или аналитического продолжения. Это означает, что нет необходимости явно определять область определения функции вещественной переменной.

Теоремы

С определениями интеграла и производной можно сформулировать ключевые теоремы, включая основную теорему математического анализа, интегрирование по частям и теорему Тейлора. Вычисление выражений, содержащих как интегралы, так и производные, можно выполнить, используя дифференцирование под знаком интеграла.

Тангентная линия к кривой

В точке, для некоторой постоянной t = c, уравнения одномерной касательной к кривой в этой точке задаются с помощью обыкновенных производных r1(t), r2(t), ..., rn(t) и r по t.

Связь с кинематикой

Физическая и геометрическая интерпретация dr(t)/dt – это "скорость" точечной частицы, движущейся по траектории r(t), рассматривая r как координаты радиус-вектора, параметризованные временем t, и это вектор, касательный к пространственной кривой для всех t в направлении мгновенного движения. При t = c пространственная кривая имеет касательный вектор, а гиперплоскость, нормальная к пространственной кривой в точке t = c, также нормальна к касательному вектору в точке t = c. Любой вектор в этой плоскости (p − a) должен быть нормален к… Аналогично, d²r(t)/dt² – это "ускорение" частицы, и это вектор, нормальный к кривой и направленный вдоль радиуса кривизны.

Функции, оцененные матрицей

Матрица также может быть функцией одной переменной. Например, матрица вращения в 2D: является матрицей, зависящей от угла вращения относительно начала координат. Аналогично, в специальной теории относительности матрица преобразования Лоренца для чистого ускорения (без вращений): является функцией параметра ускорения β = v/c, где v – относительная скорость между системами отсчета (непрерывная переменная), а c – скорость света, постоянная величина.

Пространства Банаха и Гильберта и квантовая механика

Обобщая предыдущий раздел, выход функции вещественной переменной также может лежать в пространстве Банаха или пространстве Гильберта. В этих пространствах определены деление, умножение и пределы, поэтому применимы такие понятия, как производная и интеграл. Это особенно часто встречается в квантовой механике, где берут производную от кет-вектора или оператора. Это происходит, например, в общем зависящем от времени уравнении Шрёдингера:

где берут производную от волновой функции, которая может являться элементом различных пространств Гильберта.