Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Стифель көптігі – бұл барлық ортонормалды k-фреймдер жиынтығы. Яғни, бұл реттелген ортонормалды k векторлық топтамасының жиынтығы. Ол швейцариялық математик Эдуард Стифельдің құрметіне аталған. Сол сияқты, ортонормалды k-фреймдердің комплекс Стифель көптігін және ортонормалды k-фреймдердің кватерниондық Стифель көптігін анықтауға болады. Жалпы алғанда, бұл құрылым кез келген нақты, комплекс немесе кватерниондық ішкі көбейту кеңістігіне қолданылады. Кейбір контекстерде, компакт емес Стифель көптігі – бұл барлық сызықтық тәуелсіз k-фреймдер жиынтығы деп анықталады, немесе бұл гомотопиялық түрде эквивалентті, себебі компакт Стифель көптігі Грам-Шмидт арқылы компакт емес көптіктің деформациялық кері тартылуы болып табылады. Компакт емес формаға қатысты мәлімдемелер, ортогоналдық топты (немесе унитарлық немесе симплектикалық топты) жалпы сызықтық топпен алмастыру арқылы, компакт формаға қатысты мәлімдемелерге сәйкес келеді.
In mathematics, the Stiefel manifold is the set of all orthonormal k frames in That is, it is the set of ordered orthonormal k tuples of vectors in It is named after Swiss mathematician Eduard Stiefel. Likewise one can define the complex Stiefel manifold of orthonormal k frames in and the quaternionic Stiefel manifold of orthonormal k frames in More generally, the construction applies to any real, complex, or quaternionic inner product space. In some contexts, a non compact Stiefel manifold is defined as the set of all linearly independent k frames in or this is homotopy equivalent, as the compact Stiefel manifold is a deformation retract of the non compact one, by Gram–Schmidt. Statements about the non compact form correspond to those for the compact form, replacing the orthogonal group (or unitary or symplectic group) with the general linear group.
Бірыңғай шара
Stiefel коллекторын бірыңғай өлшеммен жабдықтауға болады, яғни жоғарыда аталған топтардың әрекетіне қатысты инвариантты Борель өлшемімен. Мысалы, Евклид жазықтығындағы бірлік шеңберге изоморфты коллектор үшін бірыңғай өлшем – шеңбердегі түсініксіз бірыңғай өлшем (доға ұзындығы) болып табылады. Гаусс кездейсоқ матрицаларын қолдану арқылы осы өлшемді үлгілеу оңай: егер A стандартты нормальды таралым бойынша бірдей таралған тәуелсіз элементтері бар кездейсоқ матрица болса және A = QR – A матрицасының QR-факторлануы болса, онда матрицалар тәуелсіз кездейсоқ шамалар болып табылады және Q коллектордағы бірыңғай өлшемге сәйкес таралады. Бұл нәтиже Бартлетт ыдырау теоремасының салдары болып табылады.
The Stiefel manifold can be equipped with a uniform measure, i. e. a Borel measure that is invariant under the action of the groups noted above. For example, which is isomorphic to the unit circle in the Euclidean plane, has as its uniform measure the obvious uniform measure (arc length) on the circle. It is straightforward to sample this measure on using Gaussian random matrices: if is a random matrix with independent entries identically distributed according to the standard normal distribution on and A = QR is the QR factorization of A, then the matrices, are independent random variables and Q is distributed according to the uniform measure on This result is a consequence of the Bartlett decomposition theorem.
Функционалдылық
Векторлық кеңістіктер арасындағы ортогональды кіріктіруді ескере отырып, k ортонормальды векторлар жиынының суреті ортонормальды болады, сондықтан Стифель көптүрліліктерінің туындаған жабық кіріктіруі бар, және бұл функционалды. Көбірек жіңішкелік тұрғысынан, n өлшемді векторлық кеңістік X берілгенде, қос негіз құрастыру X үшін негіздер мен қос кеңістік үшін негіздер арасындағы біржақты сәйкестікті (биекцияны) береді, ол үздіксіз, және осылайша жоғарғы Стифель көптүрліліктерінің гомеоморфизмін тудырады. Бұл векторлық кеңістіктердің изоморфизмдері үшін де функционалды.
Given an orthogonal inclusion between vector spaces the image of a set of k orthonormal vectors is orthonormal, so there is an induced closed inclusion of Stiefel manifolds, and this is functorial. More subtly, given an n dimensional vector space X, the dual basis construction gives a bijection between bases for X and bases for the dual space which is continuous, and thus yields a homeomorphism of top Stiefel manifolds This is also functorial for isomorphisms of vector spaces.