Введение
В математике, многообразие Стифеля – это множество всех ортонормальных k-базисов в ℝⁿ. Иными словами, это множество упорядоченных ортонормальных k-кортежей векторов в ℝⁿ. Оно названо в честь швейцарского математика Эдуарда Стифеля. Аналогично можно определить комплексное многообразие Стифеля – множество всех ортонормальных k-базисов в ℂⁿ, и кватернионное многообразие Стифеля – множество всех ортонормальных k-базисов в ℍⁿ. В более общем случае, эта конструкция применима к любому вещественному, комплексному или кватернионному внутреннему пространству с произведением. В некоторых контекстах некомпактное многообразие Стифеля определяется как множество всех линейно независимых k-базисов в ℝⁿ или ℂⁿ. Оно гомотопно эквивалентно компактному многообразию Стифеля, поскольку компактное многообразие Стифеля является ретрактом деформации некомпактного, согласно процедуре Грама — Шмидта. Утверждения относительно некомпактной формы соответствуют утверждениям относительно компактной формы, при замене ортогональной группы (или унитарной или симплектической группы) на общую линейную группу.
Единая мера
Многообразие Стифеля можно снабдить равномерной мерой, то есть мерой Бореля, инвариантной относительно действия вышеупомянутых групп. Например, многообразие, изоморфное единичной окружности в евклидовой плоскости, имеет в качестве своей равномерной меры естественную равномерную меру (длина дуги) на окружности. Прямым способом получения выборки из этой меры на многообразии является использование гауссовских случайных матриц: если A – случайная матрица с независимыми элементами, распределенными одинаково согласно стандартному нормальному распределению на ℝ, и A = QR – QR-разложение матрицы A, то матрицы Q и R являются независимыми случайными величинами, а Q распределена согласно равномерной мере на многообразии. Этот результат является следствием теоремы о разложении Бартлетта.
Функциональность
При наличии ортогонального включения между векторными пространствами, образ множества из k ортонормальных векторов является ортонормальным, поэтому индуцируется замкнутое включение многообразий Стифеля, и это свойство функториально. Более тонкий момент заключается в том, что для n-мерного векторного пространства X построение двойственного базиса дает биекцию между базисами для X и базисами для двойственного пространства, которая непрерывна и, следовательно, определяет гомеоморфизм верхних многообразий Стифеля. Это также функториально относительно изоморфизмов векторных пространств.