Кіріспе
Үшбұрыштағы үш жанама шеңбер Геометрияда Малфатти шеңберлері – берілген үшбұрыштың ішінде орналасқан үш шеңбер, мұнда әр шеңбер қалған екеуіне де және үшбұрыштың екі қабырғасына да жанасады. Олар осы шеңберлерді құру мәселесін алғаш зерттеген және үшбұрыш ішіндегі кез келген үш бөлек шеңбердің ең үлкен жалпы ауданына ие болады деген қате сенімде болған Джан Франческо Малфаттидің есімімен аталады. Малфатти мәселесі Малфатти шеңберлерін құру мәселесіне де, үшбұрыш ішінде ауданын максимизациялайтын үш шеңберді табу мәселесіне де қатысты қолданылады. Малфатти шеңберлерінің қарапайым құрылысын берген және көптеген математиктер содан бері осы мәселені зерттеді. Малфатти өзі үш шеңбердің радиустарын анықтау үшін формула ұсынды, сонымен қатар оларды үшбұрыштың екі ортасы – үшбұрыштың Ажима-Малфатти нүктелерін анықтау үшін де пайдалануға болады. Үш шеңбердің үшбұрыштағы жалпы ауданын максимизациялау мәселесі Малфатти шеңберлерімен шешілмейді. Керісінше, оңтайлы шешімді әрқашан берілген үшбұрыш ішіндегі ең үлкен шеңберді, үшбұрыштың бірінші шеңберден тыс қалған үш байланысқан кіші жиынындағы ең үлкен шеңберді және үшбұрыштың алғашқы екі шеңберден тыс қалған бес байланысқан кіші жиынындағы ең үлкен шеңберді табатын ашкөз алгоритммен табуға болады. Бұл процедура алғаш 1930 жылы ұсынылған, бірақ оның дұрыстығы 1994 жылға дейін дәлелденбеді.
In geometry, the Malfatti circles are three circles inside a given triangle such that each circle is tangent to the other two and to two sides of the triangle. They are named after Gian Francesco Malfatti, who made early studies of the problem of constructing these circles in the mistaken belief that they would have the largest possible total area of any three disjoint circles within the triangle. Malfatti's problem has been used to refer both to the problem of constructing the Malfatti circles and to the problem of finding three area maximizing circles within a triangle. A simple construction of the Malfatti circles was given by , and many mathematicians have since studied the problem. Malfatti himself supplied a formula for the radii of the three circles, and they may also be used to define two triangle centers, the Ajima–Malfatti points of a triangle. The problem of maximizing the total area of three circles in a triangle is never solved by the Malfatti circles. Instead, the optimal solution can always be found by a greedy algorithm that finds the largest circle within the given triangle, the largest circle within the three connected subsets of the triangle outside of the first circle, and the largest circle within the five connected subsets of the triangle outside of the first two circles. Although this procedure was first formulated in 1930, its correctness was not proven until 1994.
Малфаттидің проблемасы
Бұл мәселе үш цилиндрлі бағананы үшбұрышты мәрмәр призмадан кесу, бағаналардың жалпы көлемін ұлғайту мәселесін көтерді. Ол бұл мәселенің шешімін үшбұрышты қимасының ішінде үш жанасқан шеңбер арқылы беріледі деп болжады. Яғни, абстрактілірек айтқанда, ол үш Малфатти шеңберінің берілген үшбұрыштың кез келген үш бөлек шеңберінің ең үлкен жалпы ауданына ие екенін болжады. Мальфаттидің еңбегін француз тіліндегі кең оқырмандар үшін Жозеф Диас Гергон өзінің "Анналы" (1811) атты еңбегінің бірінші томында танымал етті, ал екінші және оныншы томында одан әрі талқылады. Алайда, Гергонн тек шеңберлердің жанасу проблемасын ғана айтты, ауданын максимизациялаушы проблеманы емес. Малфаттидің екі проблема тең деп болжауы дұрыс емес. , итальяндық түпнұсқа мәтінге қайтып оралып, кейбір үшбұрыштар үшін үлкен ауданды үшбұрыш ішінде максималды радиусы бар бір шеңберді сызып, үшбұрыштың қалған үш бұрышының бірінде екінші шеңберді, ал қалған бес бөліктің ең кіші бұрышы бар үшінші шеңберді сызу арқылы ашкөз алгоритммен қол жеткізуге болатынын байқады. Теңқабырғалы үшбұрыш үшін аудандағы айырмашылық шамалы, 1% -дан аспайды, бірақ жоғарыда айтылғандай, өте сүйір төбесі бар теңбұрышты үшбұрыш үшін оңтайлы шеңберлер (үшбұрыштың табанынан бір-бірінің үстіне орналасқан) Малфатти шеңберлерінің ауданынан шамамен екі есеге жуық. Шындығында, Малфатти шеңберлері ешқашан оңтайлы бола бермейді. 1960 жылдары сандық есептеулер арқылы анықталды, кейіннен қатаң түрде дәлелденді, Lob–Richmond процедурасы әрқашан ең үлкен ауданы бар үш шеңберді шығарады және олар әрқашан Малфатти шеңберлерінен үлкен болады. жалпы алғанда, кез келген n бүтін саны үшін, ашкөз алгоритм берілген үшбұрыш ішінде n шеңбердің ауданын максимизациялайтын жиынтығын табады; n ≤ 3 үшін болжамның дұрыс екені белгілі.
Тарих
Үшбұрыштың ішінде бір-біріне жанасатын үш шеңберді құру мәселесін 18 ғасырдағы жапон математигі Ажима Нанобо Мальфаттидің жұмысына дейін қойған, ал Ажиманың өлімінен бір жыл өткен соң оның шәкірті Кусака Макото жасаған Ажиманың жарияланбаған еңбектерінің жинағына енгізген. Одан да ертерек, 1384 жылы Гилио ди Чекко да Монтепульчаноның қолжазбасында, қазір Италияның Сиена қалалық кітапханасында сақталып тұрған, осы мәселе қарастырылған. Ол мәселенің нақты теңқабырлы үшбұрыш үшін арнайы жағдайын зерттеді. Мальфаттидің жұмысынан бері Мальфаттидің үш жанасатын шеңберін салу әдістеріне қатысты көп жұмыс жасалды; Ричард К. Гай осы мәселе бойынша әдебиеттің "мол, кеңінен тараған және өзінен-өзі хабардар емес" екенін жазады. Оның тарихы мен математикасы содан бері үздіксіз зерттеулердің нысаны болып келеді. Бұл тақырып геометрияға арналған кітаптарда да жиі кездеседі. Сондай-ақ, 19 ғасырдағы неаполитандық математикадағы Мальфатти шеңберлеріне қатысты бір эпизодты баяндайды. 1839 жылы синтетикалық геометр Винченцо Флаути үш геометриялық мәселені шешуге қатысты сынақ ұсынды, олардың бірі Мальфатти шеңберлерін салу болды; оның мақсаты синтетикалық әдістердің аналитикалық әдістерден артықшылығын көрсету еді. Аналитикалық геометрияның қарсы мектебінің студенті Фортунато Падула шешім бергеніне қарамастан, Флаути жүлдені өзінің студенті Никола Трудиге берді, оның шешімдерін Флаути сынақ ұсынған кезде білген болатын. Соңғы кезде Мальфатти шеңберлерін салу мәселесі компьютерлік алгебра жүйелерін тестілеу үшін қолданылып келеді.
Штайнердің құрылымы
Малфатти шеңберлері бойынша ертедегі жұмыстардың көп бөлігі аналитикалық геометрияны қолданғанмен, келесі қарапайым синтетикалық конструкция ұсынылды. Мальфатти шеңберлері сияқты үшбұрыштың екі жағына жанасатын шеңбер, үшбұрыштың бұрыш қосқыштарының бірінде (суреттегі жасыл) орналасуы керек. Бұл қосқыштар үшбұрышты үш кіші үшбұрышқа бөледі, ал Штайнердің Малфатти шеңберлерін салуы осы үш кіші үшбұрыштың әрқайсысына іштей сызылған түрлі үш шеңберді (суретте пунктирмен көрсетілген) салудан басталады. Жалпы, бұл шеңберлер бөлек орналасқан, сондықтан екі шеңбердің әр жұбының төрт битангенті (екеуін де жанасатын түзулер) болады. Осы битангенттердің екеуі олардың шеңберлері арасымен өтеді: біреуі – бұрыш қосқышы, ал екіншісі – суреттегі қызыл пунктирмен көрсетілген түзу. Берілген үшбұрыштың үш жағын a, b және c деп белгілейік, ал бұрыш қосқыштары емес үш битангентті x, y және z деп белгілейік, мұнда x – a жағына жанаспайтын екі шеңбердің битангенті, y – b жағына жанаспайтын екі шеңбердің битангенті, ал z – c жағына жанаспайтын екі шеңбердің битангенті. Онда үш Малфатти шеңберлері – бұл үш жанамалы төртбұрыштар abyx, aczx және bczy-ға іштей сызылған шеңберлер. Симметрия жағдайында екі пунктирлі шеңбер қосқыш бойындағы бір нүктеде жанасуы мүмкін, бұл екі битангенттің сол нүктеде беттесуіне әкеледі, бірақ бұл Малфатти шеңберлері үшін тиісті төртбұрыштарды құруға мүмкіндік береді. Үш битангент x, y және z үшбұрыштың қабырғаларын үшінші іштей сызылған шеңберге жанасқан нүктеде қиып өтеді, сондай-ақ бұрыш қосқыштарының осы ішкі шеңберлердің орталықтарын қосатын түзулерге қарапайым симметриялық бейнелеуі ретінде де табылуы мүмкін.
Радиус формуласы
Үш Мальфатти шеңберінің әрқайсысының радиусы үшбұрыштың үш қабырғасының ұзындығы a, b және c, ішкі радиусы r, жартылай периметрі және үш қашықтық d, e және f – үшбұрыштың ішкі центрінен қабырғаларына қарсы жатқан төбелерге дейінгі арақашықтықтарды қамтитын формула арқылы анықталады. Үш радиусқа арналған формулалар:
Байланысты формулалар үшбұрыштардың мысалдарын табу үшін қолданылуы мүмкін, олардың қабырғаларының ұзындығы, ішкі радиусы және Мальфатти радиусы – барлығы рационал немесе бүтін сандар болып табылады. Мысалы, қабырғалары 28392, 21000 және 25872 болатын үшбұрыштың ішкі радиусы 6930, ал Мальфатти радиусы 3969, 4900 және 4356-ға тең. Тағы бір мысал ретінде, қабырғалары 152460, 165000 және 190740 болатын үшбұрыштың ішкі радиусы 47520, ал Мальфатти радиусы 27225, 30976 және 32400-ге тең.
Ажима Мальфатти ұпайлары
АВС үшбұрышы мен оның үш Малфатти шеңбері берілген болсын, D, E және F нүктелері екі шеңбердің бір-біріне жанасатын жерлері болсын, сәйкесінше А, В және С төбелеріне қарама-қарсы. Онда AD, BE және CF үш түзуі шеңберлер мәселесіне Ажима мен Малфаттидің қосқан үлесімен аталған бірінші Ажима-Малфатти орталығында түйіседі. Екінші Ажима-Малфатти орталығы – Малфатти шеңберлерінің жанасу нүктелерін үшбұрыштың сырттай шеңберлерінің орталықтарымен қосатын үш түзудің түйіскен жері. Малфатти шеңберлерімен байланысты басқа үшбұрыш орталықтарына Yff-Малфатти орталығы да жатады, ол бірінші Малфатти орталығы сияқты, берілген үшбұрыштың қабырғалары арқылы өтетін түзулерге жанасатын, бірақ үшбұрыштың ішінара сыртында жатқан үш өзара жанасқан шеңберлерден және үш Малфатти шеңберінің радикалдық орталығынан (олардың құрылысында қолданылатын үш екі жанаманың түйіскен жері) құралады.