Введение
Три касательные окружности в треугольнике
В геометрии окружности Мальфатти — это три окружности внутри заданного треугольника, причем каждая окружность касается двух других и двух сторон треугольника. Они названы в честь Джан Франческо Мальфатти, который впервые изучил задачу построения этих окружностей, ошибочно полагая, что они будут иметь наибольшую возможную суммарную площадь среди любых трех непересекающихся окружностей внутри треугольника. Задача Мальфатти используется для обозначения как задачи построения окружностей Мальфатти, так и задачи поиска трех окружностей, максимизирующих площадь внутри треугольника. Простое построение окружностей Мальфатти было предложено , и с тех пор многие математики изучали эту задачу. Сам Мальфатти предложил формулу для радиусов трех окружностей, которые также могут быть использованы для определения двух центров треугольника — точек Аджимы-Мальфатти. Задача максимизации суммарной площади трех окружностей в треугольнике никогда не решается окружностями Мальфатти. Вместо этого оптимальное решение всегда можно найти с помощью жадного алгоритма, который находит наибольшую окружность внутри заданного треугольника, наибольшую окружность внутри трех связанных подмножеств треугольника, лежащих вне первой окружности, и наибольшую окружность внутри пяти связанных подмножеств треугольника, лежащих вне первых двух окружностей. Хотя эта процедура была впервые сформулирована в 1930 году, ее корректность была доказана только в 1994 году.
Проблема Малфатти
поставил задачу вырезания трех цилиндрических колонн из треугольной призмы из мрамора, максимизируя общий объем колонн. Он предположил, что решение этой задачи задается тремя касательными окружностями в треугольном сечении клина. То есть, более абстрактно, он предположил, что три окружности Малфатти имеют максимальную общую площадь среди любых трех непересекающихся окружностей внутри заданного треугольника. Работа Малфатти была популяризирована для более широкой аудитории на французском языке Жозефом Диазом Гергонном в первом томе его "Анналов" (1811), с дальнейшим обсуждением во втором и десятом томах. Однако Гергонн сформулировал лишь задачу касания окружностей, а не задачу максимизации площади. Предположение Малфатти о том, что эти две задачи эквивалентны, неверно. , вернувшись к оригинальному итальянскому тексту, заметил, что для некоторых треугольников можно получить большую площадь, используя жадный алгоритм, который вписывает в треугольник одну окружность максимального радиуса, затем вписывает вторую окружность в один из трех оставшихся углов треугольника – тот, у которого наименьший угол, и, наконец, вписывает третью окружность в самый большой из пяти оставшихся фрагментов. Разница в площади для равностороннего треугольника невелика, чуть больше 1%, но, как было указано, для равнобедренного треугольника с очень острым углом оптимальные окружности (наложенные друг на друга над основанием треугольника) имеют почти вдвое большую площадь, чем окружности Малфатти. Фактически, окружности Малфатти никогда не являются оптимальными. Численные вычисления, проведенные в 1960-х годах, а затем и строгое доказательство, показали, что процедура Лоб–Ричмонд всегда дает три окружности с наибольшей площадью, которые всегда больше, чем окружности Малфатти. Предполагается в более общем виде, что для любого целого числа n жадный алгоритм находит множество из n окружностей, максимизирующих площадь внутри заданного треугольника; известно, что это предположение верно для n ≤ 3.
История
Проблема построения трёх окружностей, касающихся друг друга внутри треугольника, была поставлена японским математиком XVIII века Ажимой Нанобу до работ Мальфатти и включена в неопубликованный сборник трудов Ажимы, составленный его учеником Кусакой Макото годом после смерти Ажимы. Ещё раньше та же проблема рассматривалась в рукописи 1384 года, принадлежащей Гилио ди Чеко да Монтепульчано, которая сейчас хранится в Муниципальной библиотеке Сиены (Италия). Был изучен частный случай этой проблемы для конкретного равнобедренного треугольника. После работ Мальфатти было проведено значительное количество исследований, посвящённых методам построения трёх касательных окружностей Мальфатти; Ричард К. Гай отмечает, что литература по этой проблеме "обширна, разрознена и не всегда осведомлена о себе". История и математические аспекты этой задачи постоянно изучаются с тех пор. Она также часто встречается в книгах по геометрии. И повествуют об эпизоде из неаполитанской математики XIX века, связанном с окружностями Мальфатти. В 1839 году Винченцо Флаути, приверженец синтетической геометрии, предложил решить три геометрические задачи, одной из которых было построение окружностей Мальфатти; его целью было продемонстрировать превосходство синтетических методов над аналитическими. Несмотря на то, что решение представил Фортунато Падула, студент из конкурирующей школы аналитической геометрии, Флаути присудил приз своему ученику Николе Труди, решения которого были ему известны ещё до постановки задачи. В последнее время задача построения окружностей Мальфатти используется в качестве тестовой для систем компьютерной алгебры.
Строительство Штайнера
Хотя большая часть ранних работ по кругам Мальфатти использовала аналитическую геометрию, предложена следующая простая синтетическая конструкция. Круг, касающийся двух сторон треугольника, как и круги Мальфатти, должен быть центрирован на одной из биссектрис угла треугольника (зелёная на рисунке). Эти биссектрисы разбивают треугольник на три меньших треугольника, и построение Штайнера кругов Мальфатти начинается с проведения другой тройки окружностей (показаны пунктиром на рисунке), вписанных в каждый из этих трёх меньших треугольников. В общем случае эти окружности не пересекаются, поэтому каждая пара окружностей имеет четыре битангенты (линии, касающиеся обеих окружностей). Две из этих битангент проходят между окружностями: одна является биссектрисой угла, а вторая показана красной пунктирной линией на рисунке. Обозначим три стороны данного треугольника как a, b и c, а три битангенты, не являющиеся биссектрисами угла, как x, y и z, где x – битангента к двум окружностям, не касающимся сторону a, y – битангента к двум окружностям, не касающимся сторону b, а z – битангента к двум окружностям, не касающимся сторону c. Тогда три круга Мальфатти являются вписанными окружностями в три тангенциальных четырехугольника abyx, aczx и bczy. В случае симметрии две пунктирные окружности могут касаться друг друга в точке на биссектрисе, в результате чего две битангенты совпадают в этой точке, но всё равно формируя соответствующие четырехугольники для кругов Мальфатти. Три битангенты x, y и z пересекают стороны треугольника в точках касания с третьей вписанной окружностью и могут быть также найдены как отражения биссектрис угла относительно линий, соединяющих пары центров этих вписанных окружностей.
Формула радиуса
Радиус каждого из трех кругов Мальфатти может быть определен формулой, включающей три длины сторон a, b и c треугольника, радиус вписанной окружности r, полупериметр и три расстояния d, e и f от центра вписанной окружности до вершин, противоположных сторонам a, b и c соответственно. Формулы для трех радиусов:
С помощью связанных формул можно найти примеры треугольников, длины сторон, радиус вписанной окружности и радиусы кругов Мальфатти которых являются рациональными числами или целыми числами. Например, треугольник со сторонами 28392, 21000 и 25872 имеет радиус вписанной окружности 6930 и радиусы кругов Мальфатти 3969, 4900 и 4356. В качестве другого примера, треугольник со сторонами 152460, 165000 и 190740 имеет радиус вписанной окружности 47520 и радиусы кругов Мальфатти 27225, 30976 и 32400.
Ажима Мальфатти
Для треугольника ABC и его трех кругов Мальфатти обозначим D, E и F точками, в которых попарно касаются два круга, напротив вершин A, B и C соответственно. Тогда три прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке треугольника, известной как первая точка Айдзима — Мальфатти, в честь вклада Айдзимы и Мальфатти в задачу о кругах. Вторая точка Айдзима — Мальфатти — это точка пересечения трех прямых, соединяющих точки касания кругов Мальфатти с центрами вневписанных окружностей треугольника. К другим центрам треугольника, связанным с кругами Мальфатти, относится точка Ифф — Мальфатти, построенная аналогично первой точке Мальфатти из трех взаимно касающихся окружностей, каждая из которых касается прямых, содержащих стороны данного треугольника, но частично лежит вне треугольника, а также радикальный центр трех кругов Мальфатти (точка, в которой пересекаются три бикасательные, используемые при их построении).