Математикадағы джеттер: функциялардың туындыларын полиномдар түрінде абстрактілі түрде қарастырады. Бір және көп айнымалыларға арналған джеттер, манифольдтардағы джет құрылысы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, джет – дифференциалданатын функция f-ті алып, оның доменінің әрбір нүктесінде f-тің уысықталған Тейлор полиномын шығаратын амал. Бұл джеттің анықтамасы болғанымен, джеттер теориясы осы полиномдарды полиномдық функциялар емес, абстракт полиномдар ретінде қарастырады. Бұл мақалада біріншіден, нақты мәнді функцияның бір нақты айнымалыдағы джет ұғымы зерттеледі, содан кейін бірнеше нақты айнымалыларға қатысты жалпыламалар талқыланады. Одан кейін Евклид кеңістіктері арасындағы джеттер мен джеттік кеңістіктердің қатаң құрылысы беріледі. Соңында, көптүрліліктер арасындағы джеттердің сипаттамасы және осы джеттердің қалай құрылатыны туралы мәліметтер келтіріледі. Бұл жалпы контексте, джеттердің дифференциалдық геометрия және дифференциалдық теңдеулер теориясына қолданылуының кейбір мысалдары қорытындыланады.
In mathematics, the jet is an operation that takes a differentiable function f and produces a polynomial, the truncated Taylor polynomial of f, at each point of its domain. Although this is the definition of a jet, the theory of jets regards these polynomials as being abstract polynomials rather than polynomial functions. This article first explores the notion of a jet of a real valued function in one real variable, followed by a discussion of generalizations to several real variables. It then gives a rigorous construction of jets and jet spaces between Euclidean spaces. It concludes with a description of jets between manifolds, and how these jets can be constructed intrinsically. In this more general context, it summarizes some of the applications of jets to differential geometry and the theory of differential equations.
Эвклидтік кеңістіктер арасындағы функциялардың ағыны
Ұшақ туралы нақты анықтама бермес бұрын, ерекше жағдайларды қарастыру пайдалы.
Before giving a rigorous definition of a jet, it is useful to examine some special cases.
Талдаулық анықтама
Келесі анықтама ұшқыштар мен ұшқыштар кеңістігін анықтау үшін математикалық талдаудан алынған идеяларды қолданады. Оны Банах кеңістіктеріндегі тегіс функцияларға, нақты немесе күрделі домендер арасындағы аналитикалық функцияларға, p-адилік талдауға және талдаудың басқа салаларына жалпылауға болады. болып белгілейік – тегіс функциялардың векторлық кеңістігі. k – нөл емес бұлың бұрыш сан болсын, ал p – нүктесі болсын. Осы кеңістікте эквиваленттік қатынасын былай анықтаймыз: егер f және g функциялары p нүктесінде бірдей мәнге ие болса және олардың барлық дербес туындылары p нүктесінде k-шы ретке дейін (оны қоса) сәйкес келсе, онда олар k-шы ретке дейін эквивалентті болады. Қысқаша айтқанда, егер f ≡ g (k-шы ретке дейін). нүктесіндегі k-шы реттік ұшқыштар кеңістігі – эквиваленттік сыныптарының жиынтығы ретінде анықталады және оны деп белгілейміз. Тегіс функцияның nүктесіндегі k-шы реттік ұшқышы – кеңістігіндегі f эквиваленттік сыныбы ретінде анықталады.
The following definition uses ideas from mathematical analysis to define jets and jet spaces. It can be generalized to smooth functions between Banach spaces, analytic functions between real or complex domains, to p adic analysis, and to other areas of analysis. Let be the vector space of smooth functions Let k be a non negative integer, and let p be a point of We define an equivalence relation on this space by declaring that two functions f and g are equivalent to order k if f and g have the same value at p, and all of their partial derivatives agree at p up to (and including) their k th order derivatives. In short, iff to k th order. The k th order jet space of at p is defined to be the set of equivalence classes of , and is denoted by
The k th order jet at p of a smooth function is defined to be the equivalence class of f in .
Тейлор теоремасы
Анықтамасына қарамастан, Тейлор теоремасы векторлық кеңістіктер арасында каноникалық изоморфизмді орнатады және Евклид контекстінде, ұшқыштар көбінесе осы изоморфизм астындағы полиномдық өкілдерімен сәйкестендіріледі.
Regardless of the definition, Taylor's theorem establishes a canonical isomorphism of vector spaces between and So in the Euclidean context, jets are typically identified with their polynomial representatives under this isomorphism.
Бір нүктеден екінші нүктеге ұшқыш аралық
Біз нүктедегі ұшқыштар кеңістігін анықтадық. f(p) = q шартын қанағаттандыратын функциялардың ұшқыштарынан тұратын осы кеңістіктің кіші кеңістігі деп белгіленеді.
We have defined the space of jets at a point The subspace of this consisting of jets of functions f such that f(p) = q is denoted by
Екі коллектор арасындағы функциялардың ағыны
Егер M және N екі тегіс көптүрлілік болса, функцияның шоғырламасын қалай анықтаймыз? Біз мұндай шоғырламаны M және N-дегі жергілікті координаттарды пайдаланып анықтауға тырысуға болар. Бірақ бұл әдіс шоғырламаларды инвариантты түрде анықтауға мүмкіндік бермейді. Шоғырламалар тензорлар сияқты түрленбейді. Керісінше, екі көптүрлілік арасындағы функциялардың шоғырламалары шоғырламалар жиынына жатады.
If M and N are two smooth manifolds, how do we define the jet of a function ? We could perhaps attempt to define such a jet by using local coordinates on M and N. The disadvantage of this is that jets cannot thus be defined in an invariant fashion. Jets do not transform as tensors. Instead, jets of functions between two manifolds belong to a jet bundle.
Функциялардың көптікке ұшырауы
Енді функцияның қанатын анықтауға дайынбыз. М және N екі тегіс көпқырлылар болсын. P-ді M нүктесі деп есептейік. p-нің бірқатар маңайларында анықталған тегіс бейнелеулерден тұратын кеңістікті қарастырайық. Біз эквиваленттік қатынасты келесідей анықтаймыз. Егер f және g бейнелеулері p арқылы өтетін кез келген γ қисығы үшін (есімізде болсын, біздің шарттылығымыз бойынша бұл түріндегі бейнелеу) 0-дің бірқатар маңайында тең болса, онда олар эквивалентті болады. Содан кейін қанат кеңістігі эквиваленттік қатынас бойынша эквиваленттілік сыныптарының жиынтығы ретінде анықталады. Нүктелік кеңістік N-нің алгебралық құрылымы болуы міндетті емес, сондықтан де мұндай құрылымға ие болуы қажет емес. Бұл, шындығында, Евклид кеңістіктерінің жағдайымен күрт контрастқа түседі. Егер p маңында анықталған тегіс функция болса, онда f-тың p-дегі k-қанаты f модулінің эквиваленттік класы ретінде анықталады.
We are now prepared to define the jet of a function from a manifold to a manifold. Suppose that M and N are two smooth manifolds. Let p be a point of M. Consider the space consisting of smooth maps defined in some neighborhood of p. We define an equivalence relation on as follows. Two maps f and g are said to be equivalent if, for every curve γ through p (recall that by our conventions this is a mapping such that ), we have on some neighborhood of 0. The jet space is then defined to be the set of equivalence classes of modulo the equivalence relation Note that because the target space N need not possess any algebraic structure, also need not have such a structure. This is, in fact, a sharp contrast with the case of Euclidean spaces. If is a smooth function defined near p, then we define the k jet of f at p, , to be the equivalence class of f modulo .
Көп ұшқыш
Джон Мэтер мультиджет ұғымын енгізді. Шартты түрде айтқанда, мультиджет – әртүрлі базалық нүктелердегі реактивтердің шекті тізімі. Мэтер тұрақты бейнелеулерді зерттеуде қолданған мультиджеттік трансверсалдылық теоремасын дәлелдеді.
John Mather introduced the notion of multijet. Loosely speaking, a multijet is a finite list of jets over different base points. Mather proved the multijet transversality theorem, which he used in his study of stable mappings.