Введение

В математике струя — это операция, которая берет дифференцируемую функцию f и порождает полином, усеченный полином Тейлора функции f, в каждой точке ее области определения. Хотя это и есть определение струи, теория струй рассматривает эти полиномы как абстрактные полиномы, а не полиномиальные функции. В данной статье сначала исследуется понятие струи вещественнозначной функции одной вещественной переменной, а затем обсуждаются обобщения на случай нескольких вещественных переменных. Далее приводится строгое построение струй и струйных пространств между евклидовыми пространствами. В заключение описываются струи между многообразиями и способы их внутреннего построения. В этом более общем контексте обобщаются некоторые применения струй к дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений.

Функциональные струи между евклидовыми пространствами

Прежде чем дать строгое определение струи, полезно рассмотреть некоторые частные случаи.

Аналитическое определение

Следующее определение использует идеи математического анализа для определения джетов и джетовых пространств. Его можно обобщить на гладкие функции между пространствами Банаха, аналитические функции между вещественными или комплексными областями, на p-адический анализ и на другие области анализа. Пусть – векторное пространство гладких функций. Пусть k – неотрицательное целое число, и пусть p – точка из . Мы определяем отношение эквивалентности на этом пространстве, объявляя, что две функции f и g эквивалентны с точностью до порядка k, если f и g имеют одинаковое значение в точке p, и все их частные производные совпадают в точке p до (и включая) производные k-го порядка. Иными словами, f ~k g, если f и g совпадают с точностью до k-го порядка. k-е струйное пространство в точке p определяется как множество классов эквивалентности , и обозначается как . k-я струя функции f в точке p определяется как класс эквивалентности f в .

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм векторных пространств между и . Следовательно, в евклидовом контексте струи обычно отождествляются со своими полиномиальными представителями посредством этого изоморфизма.

Пространства струи от точки к точке

Мы определили пространство струй в точке. Подпространство этого, состоящее из струй функций f, таких что f(p) = q, обозначается.

Струйные потоки функций между двумя коллекторами

Если M и N – два гладких многообразия, как определить струю функции? Можно было бы попытаться определить такую струю, используя локальные координаты на M и N. Недостаток этого подхода в том, что струи нельзя таким образом определить инваринтным образом. Струи не преобразуются как тензоры. Вместо этого струи функций между двумя многообразиями принадлежат струйному расслоению.

Струйные потоки функций от коллектора к коллектору

Теперь мы готовы определить струю функции с многообразия на многообразие. Предположим, что M и N – два гладких многообразия. Пусть p – точка в M. Рассмотрим пространство, состоящее из гладких отображений, определенных в некоторой окрестности точки p. Определим на этом пространстве отношение эквивалентности следующим образом: два отображения f и g считаются эквивалентными, если для каждой кривой γ, проходящей через p (напомним, что по нашим соглашениям это отображение γ: I → M, где I – интервал, содержащий 0, и γ(0) = p), выполняется равенство f(γ(t)) = g(γ(t)) на некоторой окрестности 0. Пространство джетов, обозначаемое J^k(M, N), определяется как множество классов эквивалентности отображений относительно этого отношения эквивалентности. Обратите внимание, что поскольку целевое пространство N не обязано обладать какой-либо алгебраической структурой, то и J^k(M, N) не обязано ею обладать. Это существенно отличается от случая евклидовых пространств. Если f – гладкая функция, определенная в окрестности p, то k-джет функции f в точке p, обозначаемый j^k_p(f), определяется как класс эквивалентности f по отношению к отношению эквивалентности.

Многореактивные самолеты

Джон Мэтер ввёл понятие мультиджета. В широком смысле, мультиджет — это конечный список джетов над различными базовыми точками. Мэтер доказал теорему трансверсальности мультиджетов, которую он использовал в своём исследовании стабильных отображений.