Кіріспе

Жалпыланған функцияның түрі
математикалық контексттегі гиперфункциялар
Математикада гиперфункциялар – функциялардың жалпылама түрі, шекарада бір голоморфтық функциядан екіншісіне «секіру» ретінде қарастырылады және бұл функцияларды бейресми түрде шексіз реттің таралымдары деп санауға болады. Гиперфункциялар 1958 жылы Микио Сато жапон тілінде, ал Лоран Шварц, Гротендик және басқалардың бұрынғы еңбектеріне сүйене отырып, (1959, 1960 жылдары ағылшын тілінде) енгізді.

Формуляциясы

Нақты сызықтағы гиперфункцияны жоғарғы жарты жазықтықта анықталған бір голоморфтық функция мен төменгі жарты жазықтықта анықталған тағы бір голоморфтық функция арасындағы "айырмашылық" ретінде қарастыруға болады. Яғни, гиперфункция (f, g) жұбымен беріледі, мұнда f – жоғарғы жарты жазықтықтағы голоморфтық функция, ал g – төменгі жарты жазықтықтағы голоморфтық функция. Дерексіз айтқанда, гиперфункция – нақты сызықтағы осы айырмашылықтың мәні. Бұл айырмашылыққа f және g функцияларына бірдей голоморфтық функцияны қосса, өзгеріс болмайды, сондықтан егер h бүкіл комплекс жазықтықта голоморфтық функция болса, (f, g) және (f + h, g + h) гиперфункциялары эквивалентті деп есептеледі.

Бір өлшемдегі анықтама

Мотивацияны шөптік кохомологиядан алынған идеяларды қолдана отырып нақты іске асыруға болады. -ны голоморфтық функциялардың шөбі деп белгілейік. Нақты түзудегі гиперфункцияларды бірінші жергілікті кохомология тобы ретінде анықтаңыз:

Нақтырақ айтқанда, және тиісінше жоғарғы жарты жазықтық және төменгі жарты жазықтық болсын. Сонда

Кез келген шөптің нөлдік кохомология тобы – бұл шөптің жай ғана жаһандық қималары болғандықтан, гиперфункция – жоғарғы және төменгі күрделі жарты жазықтықтағы әрқайсысында бір голоморфтық функциялардың жұбы, толық голоморфтық функциялар бойынша бөліндісі. Көбірек айтқанда, кез келген ашық жиын үшін -ны болып анықтауға болады, мұнда - бірлікке ие ашық жиын. Бұл анықтаманың таңдауына тәуелді емес екенін көрсетуге болады, бұл гиперфункцияларды голоморфтық функциялардың "шекаралық мәндері" ретінде қарастыруға тағы бір себеп.

Мысалдар

Егер f – күрделі жазықтықтағы кез келген голоморфтық функция болса, онда f-тің нақты оське шектелуі гиперфункция болып табылады, ол (f, 0) немесе (0, −f) арқылы көрсетіледі. Хевисайдтың сатылы функциясы z-дың күрделі логарифмінің басты мәні арқылы көрсетіледі. Дирак дельта “функциясы” Коши интегралдық формуласының қайта айту болып табылады. Оны тексеру үшін f интегралын нақты сызықтың астынан, ал g интегралын нақты сызықтың үстінен солдан оңға қарай есептеуге болады. Гиперфункция, егер компоненттері бірдей функцияның аналитикалық жалғасы болса да, тривиальды емес болуы мүмкін екеніне назар аударыңыз. Бұл Хевисайд функциясын дифференциалдау арқылы оңай тексеріледі. Егер g – нақты сызықтағы үздіксіз функция (немесе жалпылама айтқанда, таралым) болса және оның қолдауы I шектеулі интервалда орналасқан болса, онда g гиперфункцияға (f, −f) сәйкес келеді, мұнда f – I-дің толықтырылысындағы голоморфтық функция. Бұл функция f, нақты осьті x нүктесінде кесіп өткенде g(x) мәніне секіріс жасайды. f формуласы g-ді Дирак дельта функциясымен конволюциясы ретінде жазу арқылы алдыңғы мысалдағыдай шығарылады. Бірлікке бөлуді пайдаланып, кез келген үздіксіз функцияны (таралымды) компактты қолдауы бар функциялардың (таралымдардың) жергілікті шекті қосындысы түрінде жазуға болады. Бұл жоғарыдағы кіріктіруді кеңейтуге пайдаланылуы мүмкін. Егер f – 0 нүктесіндегі маңызды сингулярлықтан басқа, барлық жерде голоморфтық функция болса (мысалы, e1/z), онда ол таралым емес, 0 нүктесінде қолдауы бар гиперфункция болады. Егер f-де 0 нүктесінде шекті ретті полюс болса, онда ол таралым болады, сондықтан f-де маңызды сингулярлық болса, онда 0 нүктесінде “шегі жоқ ретті таралым” сияқты көрінеді. (Есте сақтаңыз, таралымдардың кез келген нүктеде шекті реті болады.)