Введение

Тип обобщенной функции — гиперфункции в математическом контексте. В математике гиперфункции являются обобщениями функций, представляющими собой своего рода «переход» от одной голоморфной функции к другой на границе, и могут неформально рассматриваться как распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были введены Микио Сато в 1958 году на японском языке (1959, 1960 на английском языке), основываясь на более ранних работах Лорана Шварца, Гротендика и других.

Формулировка

Гиперфункцию на вещественной прямой можно представить как «разность» между одной голоморфной функцией, определенной на верхней полуплоскости, и другой – на нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой (f, g), где f – голоморфная функция на верхней полуплоскости, а g – голоморфная функция на нижней полуплоскости. Неформально, гиперфункция – это значение, которое приняла бы разность на самой вещественной прямой. Эта разность не изменяется, если к обеим функциям f и g добавить одну и ту же голоморфную функцию, поэтому, если h – голоморфная функция на всей комплексной плоскости, гиперфункции (f, g) и (f + h, g + h) считаются эквивалентными.

Определение в одном измерении

Мотивация может быть конкретно реализована с использованием идей из кохомологии снопов. Пусть – пучок голоморфных функций на . Определите гиперфункции на вещественной прямой как первую группу локальной когомологии:

Конкретно, пусть и – верхняя и нижняя полуплоскости соответственно. Тогда , следовательно,

Поскольку нулевая группа когомологий любого снопа – это просто глобальные сечения этого снопа, мы видим, что гиперфункция – это пара голоморфных функций, каждая из которых определена на верхней и нижней комплексной полуплоскости, взятая по модулю целой голоморфной функции. В более общем случае можно определить для любого открытого множества как факторгруппу , где – любое открытое множество, содержащее . Можно показать, что это определение не зависит от выбора , что дает еще одну причину рассматривать гиперфункции как "граничные значения" голоморфных функций.

Примеры

Если f – любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение f на вещественную ось является гиперфункцией, представленной либо (f, 0), либо (0, −f). Функция Хевисайда может быть представлена как , где – главное значение комплексного логарифма z. Дельта-функция Дирака представлена выражением . Это, по сути, переформулировка формулы интеграла Коши. Чтобы это проверить, можно вычислить интеграл от f непосредственно под вещественной осью и вычесть интеграл от g непосредственно над вещественной осью, интегрируя слева направо. Следует отметить, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Это также можно легко проверить, дифференцировав функцию Хевисайда. Если g – непрерывная функция (или, в более общем случае, распределение) на вещественной прямой с носителем, содержащимся в ограниченном интервале I, то g соответствует гиперфункции (f, −f), где f – голоморфная функция на дополнении к I, определяемая выражением . Эта функция f испытывает скачок в значении на g(x) при пересечении вещественной оси в точке x. Формула для f вытекает из предыдущего примера, если записать g как свертку самого себя с дельта-функцией Дирака. Используя разбиение единицы, любую непрерывную функцию (распределение) можно представить как локально конечную сумму функций (распределений) с компактным носителем. Это можно использовать для расширения вышеуказанного вложения в вложение. Если f – любая функция, голоморфная везде, кроме существенной сингулярности в 0 (например, e^(1/z)), то является гиперфункцией с носителем в 0, которая не является распределением. Если f имеет полюс конечного порядка в 0, то является распределением, поэтому, когда f имеет существенную сингулярность, выглядит как «распределение бесконечного порядка» в 0. (Следует отметить, что распределения всегда имеют конечный порядок в любой точке.)