Кіріспе

Математикалық сериялардың шекті қосындысы – әңгімелер жинағы

Математикада серия – сандардың шексіз тізбегінің мүшелерінің қосындысы. Нақтырақ айтқанда, шексіз тізбек S сериясын анықтайды, ол мына түрде белгіленеді:

n-ші жарым-қосынды Sn – тізбектің алғашқы n мүшесінің қосындысы; яғни,

Серия конвергентті (немесе жинақталады) егер және тек қана оның жарым-қосындыларының тізбегі шекке ұмтылса; яғни, индекстермен берілген тәртіпте бірінен кейін бірін қосатын болсақ, жарым-қосындылар белгілі бір санға жақындап, жақындап келеді. Нақтырақ айтқанда, серия конвергентті, егер және тек қана кез келген ерікті түрде кішкентай оң сан ε үшін, барлық n үшін (жеткілікті үлкен) бүтін сан N бар болса, онда |Sn - S| < ε.

Егер серия конвергентті болса, онда (қажетті түрде бірегей) сан S серияның қосындысы деп аталады. Серия үшін де, оның қосындысы үшін де бірдей белгілеу қолданылады:

Бұл конвенция қосуға қолданылатынға ұқсас: a + b әрі a мен b-ны қосу операциясын, әрі осы қосудың нәтижесін, яғни a мен b-ның қосындысын білдіреді. Конвергентті емес кез келген серия дивергентті немесе жинақталмайды деп айтылады.

Шартты және абсолютті конвергенция

Кез келген тізбек үшін , барлық n үшін. Сондықтан, егер тізбек жақынсаса, онда тізбек те жақынсады (бірақ керісінше емес). Егер қатар жақынсаса, онда ол қатар абсолютті жақынсады. Экспоненциалдық функцияның Маклаурин қатары айнымалының кез келген комплекс мәні үшін абсолютті жақынсады. Егер қатар жақынсаса, бірақ қатар жақындаспаса, онда қатар шартты жақынсады. Логарифм функциясының Маклаурин қатары 1=x = 1 үшін шартты жақынсады. Риман қатар теоремасы бойынша, егер қатар шартты жақынсаса, онда қатардың мүшелерін осылай реттеуге болады, осылайша қатар кез келген мәнге жақынсауы немесе тіпті жақындаспауы мүмкін.