Введение

Математический ряд с конечной суммой
сборник рассказов

В математике ряд – это сумма членов бесконечной последовательности чисел. Более точно, бесконечная последовательность определяет ряд S, который обозначается следующим образом:

n-я частичная сумма Sn – это сумма первых n членов последовательности, то есть:

Ряд сходится (или является сходящимся), если и только если последовательность его частичных сумм стремится к пределу; это означает, что при последовательном сложении членов в порядке, заданном индексами, получаются частичные суммы, которые приближаются к заданному числу. Более точно, ряд сходится, если и только если существует число L, такое что для каждого произвольно малого положительного числа ε, существует (достаточно большое) целое число N, такое что для всех n > N, выполняется |Sn - L| < ε.

Если ряд сходится, то (единственное) число L называется суммой ряда. Та же нотация S используется для обозначения как самого ряда, так и его суммы, если он сходится. Эта условность аналогична той, что используется при сложении: a + b обозначает как операцию сложения a и b, так и результат этой операции, который называется суммой a и b. Любой ряд, который не сходится, называется расходящимся.

Условная и абсолютная конвергенция

Для любой последовательности , для всех n. Следовательно, это означает, что если сходится, то также сходится (но не наоборот). Если ряд сходится, то ряд абсолютно сходится. Ряд Маклорена экспоненциальной функции абсолютно сходится для любого комплексного значения переменной. Если ряд сходится, но ряд расходится, то ряд условно сходится. Ряд Маклорена функции логарифма условно сходится при 1=x = 1. Теорема Римана о рядах утверждает, что если ряд сходится условно, то можно переставить члены ряда таким образом, чтобы ряд сходился к любому значению или даже расходился.