Кіріспе
Дифференциалдық геометрия техникасы
Математикада Картанның теңдестік әдісі – дифференциалдық геометрияда екі геометриялық құрылымның диффеоморфизмге дейін бірдей екенін анықтауға арналған техника. Мысалы, егер M және N екі Римандық көптүрлілік болса, олардың метрикалары g және h болса, онда қандай жағдайда
In mathematics, Cartan's equivalence method is a technique in differential geometry for determining whether two geometrical structures are the same up to a diffeomorphism. For example, if M and N are two Riemannian manifolds with metrics g and h, respectively,
when is there a diffeomorphism
such that
? Although the answer to this particular question was known in dimension 2 to Gauss and in higher dimensions to Christoffel and perhaps Riemann as well, Élie Cartan and his intellectual heirs developed a technique for answering similar questions for radically different geometric structures. (For example see the Cartan–Karlhede algorithm.) Cartan successfully applied his equivalence method to many such structures, including projective structures, CR structures, and complex structures, as well as ostensibly non geometrical structures such as the equivalence of Lagrangians and ordinary differential equations. (His techniques were later developed more fully by many others, such as D. C. Spencer and Shiing Shen Chern.) The equivalence method is an essentially algorithmic procedure for determining when two geometric structures are identical. For Cartan, the primary geometrical information was expressed in a coframe or collection of coframes on a differentiable manifold. See method of moving frames.
түріндегі диффеоморфизм бар? Бұл нақты сұраққа жауап 2 өлшемде Гаусске, ал жоғары өлшемдерде Кристофельге және, мүмкін, Риманға да белгілі болғанмен, Эли Картан және оның ізбасарлары түбегейлі түрлендірілген геометриялық құрылымдар үшін ұқсас сұрақтарға жауап беруге мүмкіндік беретін техниканы дамытты. (Мысалы, Cartan–Karlhede алгоритмін қараңыз.) Картан өзінің теңдестік әдісін көптеген мұндай құрылымдарға сәтті қолданды, оның ішінде проективтік құрылымдарға, CR құрылымдарына және кешенді құрылымдарға, сондай-ақ Лагранждар мен қалыпты дифференциалдық теңдеулердің теңдестігі сияқты геометриялық емес құрылымдарға да. (Оның техникаларын кейін Д.С. Спенсер және Шиинг Шен Черн сияқты көптеген ғалымдар одан әрі дамытты.) Теңдестік әдісі – екі геометриялық құрылымның сәйкес екенін анықтауға арналған негізінен алгоритмдік процедура. Картан үшін негізгі геометриялық ақпарат дифференциалданатын коллектордағы кофрейм немесе кофреймдер жиынтығы түрінде берілді. Қозғалмалы координаттар әдісін қараңыз.
In mathematics, Cartan's equivalence method is a technique in differential geometry for determining whether two geometrical structures are the same up to a diffeomorphism. For example, if M and N are two Riemannian manifolds with metrics g and h, respectively,
when is there a diffeomorphism
such that
? Although the answer to this particular question was known in dimension 2 to Gauss and in higher dimensions to Christoffel and perhaps Riemann as well, Élie Cartan and his intellectual heirs developed a technique for answering similar questions for radically different geometric structures. (For example see the Cartan–Karlhede algorithm.) Cartan successfully applied his equivalence method to many such structures, including projective structures, CR structures, and complex structures, as well as ostensibly non geometrical structures such as the equivalence of Lagrangians and ordinary differential equations. (His techniques were later developed more fully by many others, such as D. C. Spencer and Shiing Shen Chern.) The equivalence method is an essentially algorithmic procedure for determining when two geometric structures are identical. For Cartan, the primary geometrical information was expressed in a coframe or collection of coframes on a differentiable manifold. See method of moving frames.
Бірінші қадам
Картан әдісінің бірінші қадамы – кері тартылыс қатынасын (1) мүмкіндігінше инвариантты түрде, "ұзарту" арқылы беру болып табылады. Мұны істеудің ең тиімді жолы – сызықтық кокадрлардың бас топтамасының G кіші топтамасы PM-ді пайдалану, бірақ бұл тәсіл нақты есептеулер жасағанда қажетсіз қиындықтарға алып келуі мүмкін. Атап айтқанда, осы мақалада кейінірек басқа тәсіл қолданылады. Дегенмен, жалпы шолу үшін бас топтамалық тұрғысынан қалу ыңғайлы.
Екінші қадам
Екінші қадам – G құрылымының қалған жоғары реттік инварианттарын бөліп шығару үшін сыртқы туындының диффеоморфизм инварианттығын қолдану. Қосымша, негізгі шоғыр PM-де белгілі бір бұрылысы бар байланыс пайда болады. Осы байланыстың және бұрылыстың компоненттері мәселенің инварианттары деп есептеледі.
Үшінші қадам
Үшінші қадам – егер қалған бұрылу коэффициенттері негізгі топтама PM талшықтарында тұрақты болмаса, оларды ыңғайлы тұрақты мәнге теңдеп, осы нормалау теңдеулерін шешу арқылы нормалауға болады (бірақ кейде қиын). Осы арқылы Лай тобының тиімді өлшемі G азаяды. Егер мұндай жағдай туындаса, бірінші қадамға қайта оралып, енді бір өлшемге кішірек Лай тобымен жұмыс істеуге болады.
Төртінші қадам
Бірінші үш қадамның басты мақсаты – құрылым тобын барынша азайту. Теңдестік мәселесі цикл арқылы жеткілікті рет өтті деп есептейік, одан әрі қысқарту мүмкін емес. Осы сәтте теңдестік әдісінің әртүрлі бағыттары пайда болады. Көптеген теңдестік проблемалары үшін төрт жағдай ғана кездеседі: толық азайту, инволюция, ұзарту және дегенерация. Толық азайту. Бұл жағдайда құрылым тобы тривиальды топқа дейін толық азайтылады. Енді мәселені Фробен теоремасы сияқты әдістермен шешуге болады. Яғни, алгоритм сәтті аяқталды. Екінші жағынан, бұралу коэффициенттері PM талшықтарында тұрақты болуы мүмкін. Демек, олар енді Lie тобы G-ге тәуелді емес, себебі қалыпқа келтіруге ештеңе қалмады, бірақ бұралудың белгілі бір бөлігі сақталуы мүмкін. Қалған үш жағдай осыны болжайды. Инволюция. Теңдестік мәселесі Картан сынағынан өтсе, ол инволютивті (немесе инволюциядағы) деп аталады. Бұл, негізінен, процедураның алғашқы үш қадамында алынған байланыстың рангілік шарты. Картан сынағы бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімділігі туралы Фробен теоремасын жалпылайды. Егер M және N-дегі кофреймдер (алгоритмнің алғашқы үш қадамын мұқият қолдану арқылы алынған) сәйкес келсе және Картан сынағын қанағаттандырса, онда екі G құрылымы теңдес. (Шындығында, автордың білуінше, бұл орындалуы үшін кофреймдер нақты аналитикалық болуы керек, себебі Картан-Калер теоремасы аналитикалықты талап етеді.) Ұзарту. Бұл ең күрделі жағдай. Шын мәнінде, екі кіші жағдай бар. Бірінші кіші жағдайда, барлық бұралу бірегей түрде байланыс формасына сіңіріледі. (Мысалы, Римандық көптүкшелер, себебі Леви-Чивита байланысы барлық бұралуды сіңіреді.) Байланыс коэффициенттері мен олардың инвариантты туындылары құрылымның инварианттарының толық жиынтығын құрайды және теңдестік мәселесі шешіледі. Екінші кіші жағдайда, барлық бұралуды сіңіру мүмкін емес немесе белгілі бір түсініксіздіктер туындайды (мысалы, Гаусс жою әдісінде жиі болатындай). Бұл жағдайда, Гаусс жою әдісіндегідей, бұралуды сіңіруге тырысқанда қосымша параметрлер пайда болады. Бұл параметрлердің өзі мәселенің қосымша инварианттары болып шығады, сондықтан G құрылым тобын реактивті топтың кіші тобына ұзарту қажет. Бұл орындалғаннан кейін ұзартылған кеңістікте жаңа кофрейм алынады және теңдестік әдісінің бірінші қадамына қайта оралу керек. (Г-құрылымдардың ұзартылуына да қараңыз.) Дегенерация. Кейбір рангілік шарттың біркелкі болмауына байланысты, теңдестік әдісі осы нақты теңдестік мәселені шешуде сәтсіздікке ұшырайды. Мысалы, бір форма θ бар M көптүгін φ*γ=θ түріндегі γ бар басқа көптүкке сәйкестендірудің теңдестік мәселесін қарастырайық. Осы бір формалардың нөлдері, сондай-ақ олардың сыртқы туындыларының әрбір нүктедегі рангісі ескерілуі керек. Егер барлық рангілер біркелкі болса, теңдестік әдісі мұндай мәселелерді шеше алады, бірақ рангі өзгерсе, ол әрқашан қолайлы емес. Әрине, нақты қолдануға байланысты, теңдестік әдісімен көптеген ақпаратты алуға болады.