Введение

Метод дифференциальной геометрии
В математике метод эквивалентности Картана — это техника в дифференциальной геометрии для определения, совпадают ли две геометрические структуры с точностью до диффеоморфизма. Например, если M и N — два римановы многообразия с метриками g и h соответственно, то когда существует диффеоморфизм

такой, что

? Хотя ответ на этот конкретный вопрос был известен Гауссу в размерности 2 и Кристоффелю и, возможно, Риману в более высоких размерностях, Эли Картан и его последователи разработали технику для ответа на подобные вопросы для принципиально различных геометрических структур. (Например, см. алгоритм Картана — Карлхеде.) Картан успешно применил свой метод эквивалентности ко многим таким структурам, включая проективные структуры, CR-структуры и комплексные структуры, а также к структурам, которые кажутся негеометрическими, таким как эквивалентность лагранжианов и обыкновенных дифференциальных уравнений. (Позднее его методы были более полно разработаны многими другими, такими как Д.С. Спенсер и Шиинг-Шэнь Черн.) Метод эквивалентности представляет собой по сути алгоритмическую процедуру для определения, когда две геометрические структуры идентичны. Для Картана основная геометрическая информация выражалась в кофрейме или наборе кофреймов на дифференцируемом многообразии. См. метод подвижных кадров.

Первый шаг

Первый шаг в методе Картана — выразить отношение обратного отображения (1) наиболее инвариантным образом, используя "продление". Наиболее эффективный способ сделать это — использовать G-подпакет PM основного расслоения линейных кокаров LM, хотя этот подход может приводить к излишним усложнениям при выполнении конкретных вычислений. В частности, далее в статье используется иной подход. Однако для целей обзора целесообразно придерживаться точки зрения основного расслоения.

Второй шаг

Второй шаг — использовать инвариантность диффеоморфизмов внешней производной, чтобы попытаться выделить другие инварианты более высокого порядка для G-структуры. По сути, это приводит к построению связности в главном расслоении PM с некоторой торсией. Компоненты связности и торсии рассматриваются как инварианты задачи.

Третий шаг

Третий шаг состоит в том, что если оставшиеся коэффициенты кручения не являются постоянными в волокнах главного расслоения PM, то часто (хотя иногда и сложно) можно нормализовать их, приравняв к удобному постоянному значению и решив полученные уравнения нормализации, тем самым уменьшая эффективную размерность группы Ли G. Если это происходит, возвращаются к первому шагу, но уже работая с группой Ли на один порядок меньшей размерности.

Четвертый шаг

Основная цель первых трех шагов заключалась в том, чтобы максимально сократить структуру группы. Предположим, что задача эквивалентности прошла цикл достаточное количество раз, чтобы дальнейшее сокращение было невозможно. В этот момент метод эквивалентности может пойти по различным направлениям. Для большинства задач эквивалентности существует только четыре случая: полное сокращение, инволюция, пролонгация и дегенерация. Полное сокращение. Здесь структура группы полностью сведена к тривиальной группе. Теперь эту проблему можно решить с помощью таких методов, как теорема Фробениуса. Иными словами, алгоритм успешно завершен. С другой стороны, возможно, что коэффициенты кручения постоянны на волокнах PM. Эквивалентно, они больше не зависят от группы Ли G, поскольку не осталось ничего для нормализации, хотя некоторое кручение все еще может присутствовать. Три оставшихся случая исходят из этого предположения. Инволюция. Задача эквивалентности называется инволютивной, если она удовлетворяет тесту Картана. Это, по сути, условие на ранг соединения, полученного на первых трех этапах процедуры. Тест Картана обобщает теорему Фробениуса о разрешимости линейных систем уравнений в частных производных первого порядка. Если кофреймы на M и N (полученные в результате тщательного применения первых трех шагов алгоритма) совпадают и удовлетворяют тесту Картана, то две G-структуры эквивалентны. (На самом деле, насколько известно автору, кофреймы должны быть вещественно-аналитическими для выполнения этого условия, поскольку теорема Картана — Келера требует аналитичности.) Продление. Это наиболее сложный случай. Фактически, существует два подслучая. В первом подслучае все кручение может быть однозначно поглощено формой соединения. (Римановы многообразия являются примером, поскольку соединение Леви-Чивиты поглощает все кручение.) Коэффициенты соединения и их инвариантные производные образуют полный набор инвариантов структуры, и задача эквивалентности решена. Однако во втором подслучае либо невозможно поглотить все кручение, либо существует неоднозначность (как часто бывает, например, при методе Гаусса). Здесь, как и при методе Гаусса, при попытке поглотить кручение появляются дополнительные параметры. Эти параметры сами по себе оказываются дополнительными инвариантами задачи, поэтому структуру группы G необходимо пролонгировать в подгруппу группы струй. После этого получается новый кофрейм на пролонгированном пространстве, и необходимо вернуться к первому шагу метода эквивалентности. (См. также пролонгирование G-структур.) Дегенерация. Из-за неоднородности некоторого условия ранга метод эквивалентности не может успешно решить эту конкретную задачу эквивалентности. Например, рассмотрим задачу эквивалентности отображения многообразия M с одной формой θ на другое многообразие с одной формой γ таким образом, чтобы φ*γ = θ. Необходимо учитывать нули этих одномерных форм, а также ранг их внешних производных в каждой точке. Метод эквивалентности может решить такие задачи, если все ранги одинаковы, но он не всегда подходит, если ранг изменяется. Конечно, в зависимости от конкретного применения, с помощью метода эквивалентности все еще можно получить значительный объем информации.