Кіріспе
Дифференциалдық форма
Математикада көлемдік форма немесе жоғарғы өлшемді форма — дифференциалдық түр, оның дәрежесі дифференциалданатын көпбұрыштың өлшеміне тең. Демек, өлшемі *n* болатын көпбұрышта көлемдік форма — *n*-форма болады. Ол сызықтық шоғырдың қималары кеңістігінің бір элементе болып табылады, ол арқылы белгіленеді. Көпбұрыш ешқайда жоғалып кетпейтін көлемдік формаға ие болса және тек қана сонда ғана ол бағытталған болады. Бағытталған көпбұрышқа шексіз көп көлемдік формалар жатады, себебі ешқайда жоғалып кетпейтін нақты мәнді функцияға көлемдік форманы көбейту басқа көлемдік форманы береді. Бағытталмаған көпбұрыштарда тығыздықтың нашаррақ түсінігін анықтауға болады. Көлемдік форма дифференциалданатын көпбұрыштағы функцияның интегралын анықтауға мүмкіндік береді. Басқаша айтқанда, көлемдік форма функциялардың тиісті Лебег интегралы арқылы интегралдануын қамтамасыз ететін шаманы тудырады. Көлемдік форманың абсолюттік мәні — көлем элементі болып табылады, ол бұрылған көлемдік форма немесе псевдокөлемдік форма деп те аталады. Ол сондай-ақ өлшемді анықтайды, бірақ кез келген дифференциалданатын көпбұрышта, бағытталған немесе бағытталмағанда да болады. Кэлер көпбұрыштары күрделі көпбұрыштар болғандықтан, табиғи түрде бағытталған және көлемдік формаға ие. Жалпы алғанда, симплектикалық кеңістіктегі симплектикалық форманың сыртқы *n*-шы қуаты көлемдік форма болып табылады. Көптеген көпбұрыштар кластары үшін канондық көлемдік формалар бар: олардың қосымша құрылымдары бар, олар таңдалған көлемдік форманы таңдауға мүмкіндік береді. Бағытталған псевдо-Риманн көпбұрыштарының канондық көлемдік формасы бар.
In mathematics, a volume form or top dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as A manifold admits a nowhere vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a nowhere vanishing real valued function yields another volume form. On non orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density. A volume form provides a means to define the integral of a function on a differentiable manifold. In other words, a volume form gives rise to a measure with respect to which functions can be integrated by the appropriate Lebesgue integral. The absolute value of a volume form is a volume element, which is also known variously as a twisted volume form or pseudo volume form. It also defines a measure, but exists on any differentiable manifold, orientable or not. Kähler manifolds, being complex manifolds, are naturally oriented, and so possess a volume form. More generally, the th exterior power of the symplectic form on a symplectic manifold is a volume form. Many classes of manifolds have canonical volume forms: they have extra structure which allows the choice of a preferred volume form. Oriented pseudo Riemannian manifolds have an associated canonical volume form.
Лей топтары
Кез келген Ли тобы үшін аударма арқылы табиғи көлем формасын анықтауға болады. Яғни, егер тобының елементі болса, сол жақтан инвариантты форма сол жақ аударма арқылы анықталады. Салдарынан, кез келген Ли тобы бағдарланады. Бұл көлем формасы скалярға дейін бірегей, ал оған сәйкес келетін өлшем Хаар өлшемі деп аталады.
Симплектілік коллекторлар
Кез келген симплектикалық көптік (немесе тіпті кез келген дерлік симплектикалық көптік) табиғи көлемдік формаға ие. Егер симплектикалық формасы бар өлшемді көптік болса, онда симплектикалық форманың дегенерациясыздығы салдарынан ол ешқайда нөлге тең болмайды. Салдарынан, кез келген симплектикалық көптік бағдарланады (немесе бағдарланған). Егер көптік симплектикалық және Римандық болса, онда екі көлемдік форма көптік Кэхлерлік болған жағдайда сәйкес келеді.
Көлемдік форманың инварианттары
Көлемдік формалар бірегей емес; олар көпқырлыдағы жоғалып кетпейтін функцияларға қатысты тосор құрайды, яғни келесідей. Көпқырлыда жоғалып кетпейтін функция берілгенде және көлемдік форма берілгенде, ол көпқырлыда көлемдік форма болып табылады. Керісінше, екі көлемдік форма берілгенде, олардың қатынасы жоғалып кетпейтін функция болып табылады (егер олар бірдей бағытты анықтаса, оң, ал қарама-қарсы бағытты анықтаса, теріс). Координаттарда, олардың екеуі де нөлдік емес функцияға көбейтілген Лебег өлшемі болып табылады, ал олардың қатынасы функциялардың қатынасына тең, бұл координаталардың таңдалуына тәуелсіз. Ішкі тұрғысынан қарағанда, бұл - көлемдік форманың көлемдік формасына қатысты Радон-Никодим туындысы. Бағытталған көпқырлыда кез келген екі көлемдік форманың пропорционалдығы Радон-Никодим теоремасының геометриялық түрі ретінде қарастырылуы мүмкін.