Введение
Дифференциальная форма
In mathematics, a volume form or top dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as A manifold admits a nowhere vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a nowhere vanishing real valued function yields another volume form. On non orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density. A volume form provides a means to define the integral of a function on a differentiable manifold. In other words, a volume form gives rise to a measure with respect to which functions can be integrated by the appropriate Lebesgue integral. The absolute value of a volume form is a volume element, which is also known variously as a twisted volume form or pseudo volume form. It also defines a measure, but exists on any differentiable manifold, orientable or not. Kähler manifolds, being complex manifolds, are naturally oriented, and so possess a volume form. More generally, the th exterior power of the symplectic form on a symplectic manifold is a volume form. Many classes of manifolds have canonical volume forms: they have extra structure which allows the choice of a preferred volume form. Oriented pseudo Riemannian manifolds have an associated canonical volume form.
В математике, объемная форма или форма максимальной размерности — это дифференциальная форма степени, равной размерности дифференцируемого многообразия. Таким образом, на многообразии размерности *n*, объемная форма является *n*-формой. Это элемент пространства сечений линейного расслоения, обозначаемый как Λ<sup>n</sup>T<sup>*</sup>M. Многообразие допускает нигде не исчезающую объемную форму тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много объемных форм, поскольку умножение объемной формы на нигде не исчезающую функцию вещественного значения дает другую объемную форму. На неориентируемых многообразиях можно вместо этого определить более слабое понятие плотности. Объемная форма предоставляет средство для определения интеграла функции на дифференцируемом многообразии. Иными словами, объемная форма порождает меру, относительно которой функции могут быть интегрированы соответствующим интегралом Лебега. Абсолютное значение объемной формы является элементом объема, который также известен как скрученная объемная форма или псевдообъемная форма. Он также определяет меру, но существует на любом дифференцируемом многообразии, ориентируемом или нет. Кэлеровы многообразия, будучи комплексными многообразиями, естественно ориентированы и, следовательно, обладают объемной формой. В более общем случае, *n*-я внешняя степень симплектической формы на симплектическом многообразии является объемной формой. Многие классы многообразий имеют канонические объемные формы: они обладают дополнительной структурой, которая позволяет выбрать предпочтительную объемную форму. Ориентированные псевдоримановы многообразия имеют ассоциированную каноническую объемную форму.
In mathematics, a volume form or top dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as A manifold admits a nowhere vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a nowhere vanishing real valued function yields another volume form. On non orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density. A volume form provides a means to define the integral of a function on a differentiable manifold. In other words, a volume form gives rise to a measure with respect to which functions can be integrated by the appropriate Lebesgue integral. The absolute value of a volume form is a volume element, which is also known variously as a twisted volume form or pseudo volume form. It also defines a measure, but exists on any differentiable manifold, orientable or not. Kähler manifolds, being complex manifolds, are naturally oriented, and so possess a volume form. More generally, the th exterior power of the symplectic form on a symplectic manifold is a volume form. Many classes of manifolds have canonical volume forms: they have extra structure which allows the choice of a preferred volume form. Oriented pseudo Riemannian manifolds have an associated canonical volume form.
Группы лжи
Для любой группы Ли естественная форма объема может быть определена с помощью сдвига. То есть, если g – элемент группы G, то левоинвариантная форма может быть определена как ω_g = d(L_g), где L_g – левый сдвиг. Как следствие, каждая группа Ли ориентируема. Эта форма объема определена с точностью до скалярного множителя, а соответствующая мера известна как мера Хаара.
Симплектические коллекторы
Любое симплектическое многообразие (или, действительно, любое почти симплектическое многообразие) обладает естественной формой объема. Если M – n-мерное многообразие с симплектической формой ω, то ω нигде не обращается в нуль как следствие невырожденности симплектической формы. Как следствие, любое симплектическое многообразие ориентируемо (в действительности, ориентировано). Если многообразие одновременно симплектическое и риманово, то обе формы объема совпадают, если многообразие является кэлеровым.
Инварианты объемной формы
Формы объёма не уникальны; они образуют торсор над ненулевыми функциями на многообразии, как следует из нижеизложенного. Для любой ненулевой функции на многообразии и формы объёма , последняя является формой объёма на этом многообразии. И наоборот, для двух форм объёма их отношение является ненулевой функцией (положительной, если они задают одну и ту же ориентацию, и отрицательной, если они задают противоположные ориентации). В координатах обе формы можно представить как ненулевую функцию, умноженную на меру Лебега, и их отношение равно отношению этих функций, которое не зависит от выбора координат. По сути, это производная Радона — Никодима одной формы объёма относительно другой. На ориентированном многообразии пропорциональность любых двух форм объёма можно рассматривать как геометрическую форму теоремы Радона — Никодима.