Кіріспе
Математикада, шоғыр гербі – байланысы бар белгілі бір 1-гербтің геометриялық моделі, немесе Делинье кохомологиясындағы 2-кластың баламасы.
Топология
кеңістіктегі негізгі бумалар (шеңберлік буманы қараңыз) Делинье кохомологиясындағы 1-сыныптардың геометриялық іске асырылуы болып табылады, олар 1-форма байланыстары және 2-форма қисықтықтарынан тұрады. Буманың топологиясы оның Черн класы арқылы жіктеледі, ол - элементі, -нің екінші интегралды кохомологиясы, немесе дәлірек айтқанда, 1-герб, Делинье 2-сыныптарының абстрактілі сипаттамалары, олардың әрқайсысы элементті анықтайды , M-нің үшінші интегралды кохомологиясы.
Gerbes, or more precisely 1 gerbes, are abstract descriptions of Deligne 2 classes, which each define an element of , the third integral cohomology of M.
Делинье кохомологиясында кохомология класы ретінде
Еске салайық, тегіс көптік үшін p-шы Делинье кохомология топтары салмақ q Делинье комплексі деп аталатын комплекстің гиперкохомологиясымен анықталады, мұнда тегіс дифференциал k формаларының жергілікті кескіндері So-мен тензорланады. Сондықтан, біз салмақтың Делинье кохомология топтарын былай жазамыз. q = 0 жағдайында Делинье комплексі келесідей болады.
We can understand the Deligne cohomology groups by looking at the Cech resolution giving a double complex. There is also an associated short exact sequence
where are the closed germs of complex valued 2 forms on and is the subspace of such forms where period integrals are integral. This can be used to show are the isomorphism classes of bundle gerbes on a smooth manifold , or equivalently, the isomorphism classes of bundles on .
Делинье кохомология топтарын екі еселік комплекс беретін Чех шешімін қарастыру арқылы түсінуге болады. Сондай-ақ, келесі қысқа дәл тізбек бар:
мұнда – M-дегі күрделі мәнді жабық 2-формалардың жергілікті кескіндері, ал – периодтық интегралдары бүтін болатын мұндай формалардың ішкі кеңістігі. Бұл тегіс көптіктердегі түйіршік гербтерінің изоморфизм кластарын немесе, эквивалентті, түйіршіктердің изоморфизм кластарын көрсету үшін қолданылуы мүмкін.
We can understand the Deligne cohomology groups by looking at the Cech resolution giving a double complex. There is also an associated short exact sequence
where are the closed germs of complex valued 2 forms on and is the subspace of such forms where period integrals are integral. This can be used to show are the isomorphism classes of bundle gerbes on a smooth manifold , or equivalently, the isomorphism classes of bundles on .
Тарих
Тарихи тұрғыдан алғанда, гербтің ең көп таралған құрылымы – Гироның гербтер теориясында келтірілген категориялық модель, ол шамамен М-ге дейінгі группоидтардың шоғырлары болып табылады. 1994 жылы Мюррей бундель гербтерін енгізді, олар 1-гербтің геометриялық іске асырылуы болып табылады. Көптеген жағдайларда олар Гироның іске асырылуына қарағанда есептеулер үшін ыңғайлырақ, себебі олардың құрылысы классикалық геометрия шеңберінде жүзеге асырылады. Шындығында, олардың атынан көрініп тұрғанындай, олар талшықтық бундельдер болып табылады. Бұл түсінік келесі жылы жоғары гербтерге дейін кеңейтілді.
In 1994 Murray introduced bundle gerbes, which are geometric realizations of 1 gerbes. For many purposes these are more suitable for calculations than Giraud's realization, because their construction is entirely within the framework of classical geometry. In fact, as their name suggests, they are fiber bundles. This notion was extended to higher gerbes the following year.
Бұрмаланған К-теориясымен байланысы
Бұрмаланған K теориясы және Банделл Гербтердің K теориясында авторлар бундель гербтердің модульдерін анықтады және осыны пайдаланып бундель гербтер үшін K теориясын анықтады. Содан кейін олар бұл K теориясы Розенбергтің бұрмаланған K теориясына изоморфты екенін көрсетті және талдауға тәуелсіз құрылымды ұсынады. Одан әрі, олар бұрмаланған K теориясының элементі үшін сипаттамалық класс болатын бұрмаланған Черн сипатының ұғымын анықтады. Бұрмаланған Черн сипаты – nilpotent операторына қатысты бұрмаланған кохомологиядағы класты көрсететін дифференциалдық форма, мұнда қарапайым сыртқы туынды және бұрылыс – жабық 3-форма. Бұл құрылымды Mathai және Stevenson эквивариантты K теориясына және голоморфты K теориясына дейін кеңейтті.
where is the ordinary exterior derivative and the twist is a closed 3 form. This construction was extended to equivariant K theory and to holomorphic K theory by Mathai and Stevenson.