Введение

В математике, расслоенный герб — это геометрическая модель некоторых 1-гербов с соединением, или, эквивалентно, 2-класса в когомологиях Делиня.

Топология

Основные расслоения над пространством (см. расслоение окружности) являются геометрическими реализациями 1-классов в кохомологии Делинье, состоящих из 1-форм связности и 2-форм кривизны. Топология расслоения классифицируется его классом Черна, который является элементом H², второй целочисленной когомологии. Гербы, или точнее 1-гербы, являются абстрактными описаниями 2-классов Делинье, каждый из которых определяет элемент H³, третьей целочисленной когомологии M.

В качестве кохомологического класса в кохомологии Делинь

Вспомним, что для гладкого многообразия p-е группы когомологий Делиня определяются гиперкогомологией комплекса, называемого комплексом Делиня веса q, где пучок зародышей гладких дифференциальных k-форм тензируется с ℂ. Таким образом, мы записываем для групп когомологий Делиня веса q. В случае q=2, комплекс Делиня имеет вид
Мы можем понять группы когомологий Делиня, рассматривая разрешение Чеха, которое дает двойной комплекс. Существует также связанная с этим короткая точная последовательность:
где – это замкнутые зародыши комплекснозначных 2-форм на M, а – подпространство таких форм, для которых интегралы по периодам являются целыми числами. Это можно использовать для доказательства того, что – это классы изоморфизма пучков гербов на гладком многообразии M, или, эквивалентно, классы изоморфизма пучков на M.

История

Исторически наиболее популярной конструкцией герба является категорно-теоретическая модель, представленная в теории гербов Жиро, которые можно грубо описать как снопы группоидов над M.

В 1994 году Мюррей ввёл гербы-пачки, являющиеся геометрическими реализациями 1-гербов. Для многих задач они более удобны для вычислений, чем реализация Жиро, поскольку их построение полностью лежит в рамках классической геометрии. Фактически, как следует из их названия, это расслоения. Это понятие было обобщено на высшие гербы в следующем году.

Связь с извращенной К-теорией

В теории Twisted K и K-теории Bundle Gerbes авторы определили модули bundle gerbes и использовали это для определения K-теории для bundle gerbes. Затем они показали, что эта K-теория изоморфна Twisted K-теории Розенберга и предоставляет конструкцию, не требующую анализа. Кроме того, они определили понятие скрученного символа Черна, который является характеристическим классом для элемента Twisted K-теории. Скрученный символ Черна — это дифференциальная форма, представляющая класс в скрученной кохомологии относительно нилпотентного оператора, где — обычная внешняя производная, а скрутка — замкнутая 3-форма. Эта конструкция была расширена Матаи и Стивенсоном до эквивариантной K-теории и голоморфной K-теории.