Кіріспе
Гаузерді бекітудің белгісіздігі
Гаузер теориясында, әсіресе абельдік емес гаузер теорияларында, гаузерді бекіту кезінде жаһандық проблемалар жиі кездеседі. Гаузерді бекіту – әр гаузер орбитасынан бір өкілді таңдау, яғни талшықтық шоғырдың қимасын таңдау. Өкілдер кеңістігі – бұл субманолиф (шоғырдың толық жиынынан) және гаузерді бекіту шартын көрсетеді. Идеалды жағдайда, әр гаузер орбитасы осы субманолифті бір рет және тек бір рет кесіп өтуі керек. Алайда, топологиялық кедергілерге байланысты, бұл көбінесе абельдік емес гаузер теориялары үшін жаһандық деңгейде мүмкін емес, сондықтан бұл шартты жергілікті деңгейде орындауға тырысады. Гаузерді бекіту субманолифі гаузер орбитасын мүлдем кесіп өтпеуі немесе оны бірнеше рет кесіп өтуі мүмкін. Бұл қиындық гаузерді бекіту шартының әдетте қандай да бір дифференциалдық теңдеу түрінде берілуінен туындайды, мысалы, дивергенцияның нөлге тең болуы (Ландау немесе Лоренц гаузерінде). Бұл теңдеудің шешімдері бірнеше қиманы немесе тіпті ешқандай қиманы көрсетуі мүмкін. Бұл Грибовтың белгісіздігі деп аталады (Владимир Грибовтың құрметіне аталған). Грибовтың белгісіздігі, басқа нәрселермен қатар, BRST симметриясының бұзылуына әкеледі. Грибовтың белгісіздігі мәселесін шешудің бір жолы – тиісті функционалдық интегралдарды Грибов шекарасы деп аталатын жалғыз Грибов аймағымен шектеу. Бірақ, тіпті бұл мәселені бірінші Грибов аймағына дейін қысқарту арқылы да шешуге болмайтынын көрсетуге болады. Бұл белгісіздік тек негізгі модульдік аймақта (FMR) ғана шешіледі.
In gauge theory, especially in non abelian gauge theories, global problems at gauge fixing are often encountered. Gauge fixing means choosing a representative from each gauge orbit, that is, choosing a section of a fiber bundle. The space of representatives is a submanifold (of the bundle as a whole) and represents the gauge fixing condition. Ideally, every gauge orbit will intersect this submanifold once and only once. Unfortunately, this is often impossible globally for non abelian gauge theories because of topological obstructions and the best that can be done is make this condition true locally. A gauge fixing submanifold may not intersect a gauge orbit at all or it may intersect it more than once. The difficulty arises because the gauge fixing condition is usually specified as a differential equation of some sort, e. g. that a divergence vanish (as in the Landau or Lorenz gauge). The solutions to this equation may end up specifying multiple sections, or perhaps none at all. This is called a Gribov ambiguity (named after Vladimir Gribov). Gribov ambiguities lead to a nonperturbative failure of the BRST symmetry, among other things. A way to resolve the problem of Gribov ambiguity is to restrict the relevant functional integrals to a single Gribov region whose boundary is called a Gribov horizon. Still one can show that this problem is not resolved even when reducing the region to the first Gribov region. The only region for which this ambiguity is resolved is the fundamental modular region (FMR).
Өмірбаян
Гаузерлік теорияларда есептеулер жүргізген кезде, әдетте, гаузерді таңдау қажет. Гаузерлік еркіндік дәрежелері тікелей физикалық мағынаға ие емес, бірақ олар қолданылып жатқан теорияны басқару үшін қолданылатын математикалық сипаттаманың артефактісі болып табылады. Физикалық нәтижелер алу үшін, осы артық дәрежелері тиісті жолмен жойылуы керек. Абельдік гаузерлік теориясында (яғни, QED-де) жай ғана гаузерді таңдау жеткілікті. Көп қолданылатын Лоренц гаузерінің Лоренц инварианттығының артықшылығы бар. Абельдік емес гаузерлік теорияларында (мысалы, QCD) Абельдік емес гаузерлік топтың күрделі құрылымына байланысты жағдай қиынырақ. Людвиг Фадеев және Виктор Попов еңбегімен дамытылған Фадеев-Попов формализмі, абельдік емес теорияларда гаузерді таңдау мәселесін шешуге мүмкіндік береді. Бұл формализм Faddeev-Popov операторын енгізеді, ол гаузерлік өрісті қажетті гаузерге келтіру үшін қажетті түрлендірудің Якобиан детерминанты болып табылады. Ландау гаузерінде бұл оператордың мынадай түрі бар:
In Abelian gauge theory (i. e. in QED) it suffices to simply choose a gauge. A popular one is the Lorenz gauge , which has the advantage of being Lorentz invariant. In non Abelian gauge theories (such as QCD) the situation is more complicated due to the more complex structure of the non Abelian gauge group. The Faddeev–Popov formalism, developed by Ludvig Faddeev and Victor Popov, provides a way to deal with the gauge choice in non Abelian theories. This formalism introduces the Faddeev–Popov operator, which is essentially the Jacobian determinant of the transformation necessary to bring the gauge field into the desired gauge. In the so called Landau gauge , this operator has the form
where is the covariant derivative in the adjoint representation. The determinant of this Faddeev–Popov operator is then introduced into the path integral using ghost fields. This formalism, however, assumes that the gauge choice (like ) is unique — i. e. for each physical configuration there exists exactly one that corresponds to it and that obeys the gauge condition. In non Abelian gauge theories of Yang–Mills type, this is not the case for a large class of gauges, though, as was first pointed out by Gribov.
мұнда – адъюнктивтік өкілдіктегі ковариантты туынды. Осы Faddeev-Popov операторының детерминанты кейіннен жол интегралына, арбалы өрістерді пайдалану арқылы енгізіледі. Алайда, бұл формализм гаузерді таңдаудың (мысалы, ) бірегей екенін болжайды, яғни әрбір физикалық конфигурация үшін оған сәйкес келетін және гаузерлік шартын қанағаттандыратын тек бір ғана бар. Бірақ, Янг-Миллс типіндегі абельдік емес гаузерлік теорияларда, Грибов алғаш атап өткендей, гаузерлердің үлкен класы үшін мұндай жағдай орын алмайды.
In Abelian gauge theory (i. e. in QED) it suffices to simply choose a gauge. A popular one is the Lorenz gauge , which has the advantage of being Lorentz invariant. In non Abelian gauge theories (such as QCD) the situation is more complicated due to the more complex structure of the non Abelian gauge group. The Faddeev–Popov formalism, developed by Ludvig Faddeev and Victor Popov, provides a way to deal with the gauge choice in non Abelian theories. This formalism introduces the Faddeev–Popov operator, which is essentially the Jacobian determinant of the transformation necessary to bring the gauge field into the desired gauge. In the so called Landau gauge , this operator has the form
where is the covariant derivative in the adjoint representation. The determinant of this Faddeev–Popov operator is then introduced into the path integral using ghost fields. This formalism, however, assumes that the gauge choice (like ) is unique — i. e. for each physical configuration there exists exactly one that corresponds to it and that obeys the gauge condition. In non Abelian gauge theories of Yang–Mills type, this is not the case for a large class of gauges, though, as was first pointed out by Gribov.
Грибов-Званзигер іс-әрекеті
Бірнеше жыл өткен соң Даниэль Званзигер де Грибов мәселесін қарастырды. Ол басқа тәсіл қолданды. Арбақ таратушыны қарастырудың орнына, ол глюондық өрістегі бұрыштық қатар ретінде Фадеев-Попов операторының ең төменгі өзіндік мәнін есептеп шығарды. Бұл оған "көлденең функция" деп атаған белгілі бір функцияны берді, және осы көлденең функцияның вакуумдық күтілімдік мәні бірінші Грибов аймағында қалу үшін бірден аспауы керек. Бұл шарт көлденең функцияны жол интегралына енгізу арқылы (Грибовтың істегеніне ұқсас) және алынған теорияның вакуумдық энергиясына белгілі бір саңылау теңдеуін қою арқылы өрнектеледі. Бұл өзгертілген әрекеті бар жаңа жол интегралын берді, бірақ ол жергілікті емес. Бастапқы тәртіпте нәтижелер Грибовтың бұрын тапқан нәтижелерімен сәйкес келеді. Ол тапқан әрекетпен жұмыс істеуді жеңілдету үшін Званзигер жергіліктілендіру өрістерін енгізді. Әрекет жергілікті болғаннан кейін, алынған теорияның қайта нормаланатынын дәлелдеу мүмкін болды — яғни, циклдық диаграммалар арқылы туындаған барлық шексіздіктер теориядағы мазмұнды (қосылу тұрақтысы, өріс нормалауы, Грибов параметрі) қосымша түзетулерсіз көбейту арқылы сіңірілуі мүмкін. Званзигер сондай-ақ, нәтижесіндегі глюон таратушысының Кэллен-Леман спектрлік бейнелемесіне ие емес екенін атап өтті, бұл глюонның енді физикалық бөлшек бола алмайтынын көрсетеді. Бұл көбінесе түс тұтқындалуын білдіреді деп түсіндіріледі.
Бірінші Грибов облысының меншігі
Бірінші Грибов аймағы Грибовтың екіұштылығын шешуде маңызды рөл атқаратындықтан, Грибовтың алғашқы еңбегінен бері жылдар бойына қосымша назар аударады. Ландау калибровкасы – функционалды экстремалдайтын калибровка ретінде анықталады.
Осы функционалдың қарапайым экстремумы (максимумы немесе минимумы) – бұл әдеттегі Ландау калибровкасы. Минимумды талап ету (бұл Faddeev–Popov операторының оң болуын талап етумен эквивалентті) бірінші Грибов аймағына алып келеді. Алайда, бұл жағдай салыстырмалы минимумдарды да қамтиды. Бірінші Грибов аймағында топологиялық тұрғыдан тривиальды калибровкалық түрлендіру арқылы байланысты Грибов көшірмелерінің әлі де бар екені көрсетілді. Жоғарыда анықталған функционалды абсолютті түрде азайтатын калибровкалық функциялар кеңістігі "негізгі модулдік аймақ" деп аталады. Бірақ осы аймаққа жол интегралын қалай шектеу керектігі әлі белгісіз. Бірінші Грибов аймағының барлық бағытта шектеулі екені көрсетілді, сондықтан жол интегралын осы аймаққа шектегенде кез келген шектен тыс үлкен өріс конфигурациялары ескерілмейді. Бұдан әрі, бірінші Грибов аймағы дөңес және барлық физикалық конфигурациялардың ішінде кем дегенде бір өкілі бар.
Кейінгі дамуы
2013 жылы екі формализм – Грибовтың және Званзигердің – perturbation теориясындағы барлық тәртіптерге тең екені дәлелденді. Грибов-Званзигер формализмінің бір қиындығы – BRST симметриясының бұзылуы. Бұл бұзылу динамикалық симметрияның бұзылуы ретінде түсіндірілуі мүмкін. Бұзу "жұмсақ" (яғни оң массалық өлшемге ие параметрге пропорционалды, бұл жағдайда Грибов параметрі), сондықтан қайта нормалдануды дәлелдеу мүмкін. Бірақ унитарлық әлі де проблема болып қалады. Дегенмен, жақында әдебиетте BRST сақталған Грибов-Званзигер әрекеті туралы талаптар айтылды. Ұзақ уақыт бойы торлы есімдеулер Грибов пен Званзигер ұсынған өзгертілген глюондық және арбақ таратушыларының дұрыс екенін көрсететіндей болды. Алайда, 2007 жылы компьютерлер төмен импульс аймағын зерттеуге жеткілікті қуатты болды, онда таратушылар ең көп өзгертіледі, және Грибов-Званзигер суреті дұрыс емес екені анықталды. Керісінше, глюон таратушысы импульс нөлге жақындағанда тұрақты мәнге жетеді, ал арбақ таратушысы төмен импульсте 1/k2 ретінде қалады. Бұл 3 және 4 кеңістік-уақыт өлшемдері үшін де осылай. Бұл қарама-қайшылықты шешу үшін Грибов-Званзигер әрекетіне конденсаттар қосу ұсынылды.