Введение
Неоднозначность фиксации калибровки
В теории калибровки, особенно в неабелевых теориях калибровки, часто возникают глобальные проблемы при фиксации калибровки. Фиксация калибровки означает выбор представителя из каждой орбиты калибровки, то есть выбор сечения волокнистого расслоения. Пространство представителей является подмногообразием (всего расслоения) и представляет собой условие фиксации калибровки. В идеале, каждая орбита калибровки должна пересекать это подмногообразие ровно один раз. К сожалению, это часто невозможно глобально для неабелевых теорий калибровки из-за топологических препятствий, и лучшее, что можно сделать, – обеспечить выполнение этого условия локально. Подмногообразие фиксации калибровки может вообще не пересекать орбиту калибровки или пересекать её более одного раза. Трудность возникает из-за того, что условие фиксации калибровки обычно задаётся в виде дифференциального уравнения, например, требованием, чтобы дивергенция обращалась в нуль (как в калибровках Ландау или Лоренца). Решения этого уравнения могут задавать несколько сечений или, возможно, ни одного. Это называется неоднозначностью Грибова (в честь Владимира Грибова). Неоднозначности Грибова приводят, в частности, к непертурбативному нарушению симметрии BRST. Один из способов решения проблемы неоднозначности Грибова – ограничить соответствующие функциональные интегралы областью Грибова, границей которой является горизонт Грибова. Однако можно показать, что эта проблема не решается даже при ограничении области первой областью Грибова. Только фундаментальная модульная область (FMR) является областью, в которой эта неоднозначность устранена.
In gauge theory, especially in non abelian gauge theories, global problems at gauge fixing are often encountered. Gauge fixing means choosing a representative from each gauge orbit, that is, choosing a section of a fiber bundle. The space of representatives is a submanifold (of the bundle as a whole) and represents the gauge fixing condition. Ideally, every gauge orbit will intersect this submanifold once and only once. Unfortunately, this is often impossible globally for non abelian gauge theories because of topological obstructions and the best that can be done is make this condition true locally. A gauge fixing submanifold may not intersect a gauge orbit at all or it may intersect it more than once. The difficulty arises because the gauge fixing condition is usually specified as a differential equation of some sort, e. g. that a divergence vanish (as in the Landau or Lorenz gauge). The solutions to this equation may end up specifying multiple sections, or perhaps none at all. This is called a Gribov ambiguity (named after Vladimir Gribov). Gribov ambiguities lead to a nonperturbative failure of the BRST symmetry, among other things. A way to resolve the problem of Gribov ambiguity is to restrict the relevant functional integrals to a single Gribov region whose boundary is called a Gribov horizon. Still one can show that this problem is not resolved even when reducing the region to the first Gribov region. The only region for which this ambiguity is resolved is the fundamental modular region (FMR).
Предыстория
При выполнении вычислений в теориях калибровки обычно необходимо выбирать калибр. Калибровочные степени свободы не имеют прямого физического смысла, но являются артефактом математического описания, используемого для работы с рассматриваемой теорией. Для получения физических результатов эти избыточные степени свободы необходимо отбросить подходящим образом. В абелевой теории калибровки (то есть в КЭД) достаточно просто выбрать калибр. Популярным выбором является калибр Лоренца, который обладает преимуществом лоренц-инвариантности. В неабелевых теориях калибровки (таких как КХД) ситуация более сложная из-за более сложной структуры неабелевой калибровочной группы. Формализм Фаддеева — Попова, разработанный Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым, предоставляет способ решения проблемы выбора калибра в неабелевых теориях. Этот формализм вводит оператор Фаддеева — Попова, который по сути является определителем якобиана преобразования, необходимого для приведения калибровочного поля в желаемый калибр. В так называемом калибре Ландау этот оператор имеет вид, где — ковариантная производная в присоединенном представлении. Затем определитель этого оператора Фаддеева — Попова вводится в интеграл по траекториям с использованием полей-призраков. Однако этот формализм предполагает, что выбор калибра (например, ) является однозначным, то есть для каждой физической конфигурации существует ровно одна, соответствующая ей и удовлетворяющая условию калибра. В неабелевых теориях калибровки типа Янга — Миллса это не так для большого класса калибров, как впервые указал Грибов.
In Abelian gauge theory (i. e. in QED) it suffices to simply choose a gauge. A popular one is the Lorenz gauge , which has the advantage of being Lorentz invariant. In non Abelian gauge theories (such as QCD) the situation is more complicated due to the more complex structure of the non Abelian gauge group. The Faddeev–Popov formalism, developed by Ludvig Faddeev and Victor Popov, provides a way to deal with the gauge choice in non Abelian theories. This formalism introduces the Faddeev–Popov operator, which is essentially the Jacobian determinant of the transformation necessary to bring the gauge field into the desired gauge. In the so called Landau gauge , this operator has the form
where is the covariant derivative in the adjoint representation. The determinant of this Faddeev–Popov operator is then introduced into the path integral using ghost fields. This formalism, however, assumes that the gauge choice (like ) is unique — i. e. for each physical configuration there exists exactly one that corresponds to it and that obeys the gauge condition. In non Abelian gauge theories of Yang–Mills type, this is not the case for a large class of gauges, though, as was first pointed out by Gribov.
Дело ГрибоваЗванзигера
Несколько лет спустя Дэниел Званзигер также рассмотрел проблему Грибова. Он использовал иной подход. Вместо рассмотрения пропагатора призрака, он вычислил наименьшее собственное значение оператора Фаддеева — Попова в виде возмутительного ряда по глюонному полю. Это привело к определенной функции, которую он назвал «функцией горизонта», и вакуумное среднее этой функции горизонта должно быть ограничено единицей или меньше, чтобы оставаться в пределах первой области Грибова. Это условие можно выразить, вводя функцию горизонта в интеграл по траекториям (аналогично тому, как это сделал Грибов) и накладывая определенное уравнение разрыва на энергию вакуума полученной теории. В результате получился новый интеграл по траекториям с модифицированным действием, которое, однако, является нелокальным. В первом порядке результаты совпадают с результатами, ранее полученными Грибовым. Чтобы упростить работу с найденным действием, Званзигер ввел локализующие поля. После того, как действие стало локальным, удалось доказать, что полученная теория является перенормируемой, то есть все бесконечности, возникающие в петлевых диаграммах, могут быть поглощены посредством мультипликативного изменения параметров, уже присутствующих в теории (константа связи, нормировка поля, параметр Грибова), без необходимости в дополнительных добавлениях. Званзигер также отметил, что полученный глюонный пропагатор не допускает спектрального представления Кэллена — Лемана, что указывает на то, что глюон больше не может быть физической частицей. Это часто интерпретируется как признак конфайнмента.
Собственность первой Грибовской области
Поскольку первый регион Грибова играет ключевую роль в разрешении неоднозначности Грибова, он привлекал дополнительное внимание на протяжении многих лет после первой работы Грибова. Калибровка Ландау может быть определена как калибровка, экстремизирующая функционал. Простой экстремум (максимум или минимум) этого функционала соответствует обычной калибровке Ландау. Требование минимума (что эквивалентно требованию положительности оператора Фаддеева–Попова) приводит к попаданию в первый регион Грибова. Однако это условие все еще допускает наличие относительных минимумов. Было показано, что внутри первого региона Грибова все еще существуют копии Грибова, связанные друг с другом топологически тривиальным преобразованием калибровки. Пространство функций калибровки, абсолютно минимизирующих вышеуказанный функционал, называется "фундаментальной модулярной областью". Однако неизвестно, как ограничить интеграл по траекториям этой областью. Было показано, что первый регион Грибова ограничен во всех направлениях, так что при ограничении интеграла по траекториям этим регионом не учитываются произвольно большие конфигурации поля. Более того, первый регион Грибова выпуклый, и каждая физическая конфигурация имеет в нем хотя бы одно представление.
A simple extremum (maximum or minimum) of this functional is the usual Landau gauge. Demanding a minimum (which is equivalent with demanding that the Faddeev–Popov operator be positive) lands one in the first Gribov region. This condition still includes relative minima, though. It has been shown that there are still Gribov copies within the first Gribov region that are related to each other by a topologically trivial gauge transformation. The space of gauge functions that absolutely minimize the functional defined above is called the "fundamental modular region". It is unknown how to restrict the path integral to this region, though. The first Gribov region has been shown to be bounded in all directions, such that no arbitrarily large field configurations are taken into account when restricting the path integral to this region. Furthermore, the first Gribov region is convex, and all physical configurations have at least one representative inside it.
Позднее развитие
В 2013 году было доказано, что два формализма — формализм Грибова и формализм Званцигера — эквивалентны во всех порядках теории возмущений. Одной из сложностей формализма Грибова — Званцигера является нарушение симметрии BRST. Это нарушение можно интерпретировать как динамическое нарушение симметрии. Нарушение является "мягким" (то есть пропорциональным параметру с положительной размерностью массы, в данном случае параметру Грибова), что позволяет доказать перенормируемость. Однако унитарность остаётся проблематичной. Тем не менее, в последнее время в литературе появилось утверждение о существовании действия Грибова — Званцигера, сохраняющего симметрию BRST. Долгое время результаты численного моделирования на решётке указывали на справедливость модифицированных пропагаторов глюонов и призраков, предложенных Грибовым и Званцигером. Однако в 2007 году вычислительные мощности стали достаточными для исследования области малых импульсов, где пропагаторы испытывают наибольшие изменения, и оказалось, что картина Грибова — Званцигера неверна. Вместо этого, пропагатор глюона стремится к постоянному значению при стремлении импульса к нулю, а пропагатор призрака по-прежнему ведёт себя как 1/k² в области малых импульсов. Это справедливо как для 3, так и для 4 пространственно-временных измерений. Для разрешения этого противоречия было предложено решение, заключающееся в добавлении конденсатов к действию Грибова — Званцигера.