Математикада туынды – дифференциал есептеудің негізгі құрылысы. Сыртқы алгебра, градиент, ротор, дивергенция сияқты түсініктер қарастырылады. Функцияның өсу бағыты зерттеледі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық есептеудің негізгі құрылысы – математикада қолданылатын термин.
Fundamental construction of differential calculus
the term as used in mathematics
Математикада туынды дифференциалдық есептеудің негізгі құрылысы болып табылады және математикалық талдау, комбинаторика, алгебра, геометрия сияқты салаларда көптеген мүмкін жалпыламаларға ие.
In mathematics, the derivative is a fundamental construction of differential calculus and admits many possible generalizations within the fields of mathematical analysis, combinatorics, algebra, geometry, etc.
Сыртқы туынды және Lie туындысы
Сүлгілі көпқабаттағы дифференциалдық формалардың сыртқы алгебрасында сыртқы туынды, Лейбниц заңының санатталған түріне қанағаттандыратын және квадраты нөлге тең болатын бірегей сызықтық түрлендіру болып табылады. Бұл сыртқы алгебраның 1-дәрежелі деривациясы. R3-де градиент, ротор және дивергенция сыртқы туындының ерекше жағдайлары болып табылады. Градиенттің интуитивті түсіндірмесі бойынша ол "жоғары" бағытталған: яғни, функцияның ең жылдам өсу бағытына қарай бағытталған. Оны скалярлық функциялардың немесе нормаль бағыттардың бағыттық туындыларын есептеу үшін қолдануға болады. Дивергенция бір нүктеге жақын "көзі" немесе "шұңқыры" қанша екенін көрсетеді. Оны дивергенция теоремасы бойынша ағынды есептеу үшін пайдалануға болады. Ротор векторлық өрістің бір нүктеге жақын қаншалықты "айналуға" бейім екенін өлшейді. Ли туындысы – екінші векторлық өрістің ағыны бойынша векторлық немесе тензорлық өрістің өзгеру жылдамдығы. Векторлық өрістерде ол Ли жақшасының мысалы болып табылады (векторлық өрістер көптіктің диффеоморфизм тобының Ли алгебрасын құрайды). Бұл алгебраның 0-дәрежелі деривациясы. Ішкі көбейтумен бірге (векторлық өріспен жиырылу арқылы анықталатын сыртқы алгебрадағы 1-дәрежелі деривация), сыртқы туынды және Ли туындысы Ли супералгебрасын құрайды.
On the exterior algebra of differential forms over a smooth manifold, the exterior derivative is the unique linear map which satisfies a graded version of the Leibniz law and squares to zero. It is a grade 1 derivation on the exterior algebra. In R3, the gradient, curl, and divergence are special cases of the exterior derivative. An intuitive interpretation of the gradient is that it points "up": in other words, it points in the direction of fastest increase of the function. It can be used to calculate directional derivatives of scalar functions or normal directions. Divergence gives a measure of how much "source" or "sink" near a point there is. It can be used to calculate flux by divergence theorem. Curl measures how much "rotation" a vector field has near a point. The Lie derivative is the rate of change of a vector or tensor field along the flow of another vector field. On vector fields, it is an example of a Lie bracket (vector fields form the Lie algebra of the diffeomorphism group of the manifold). It is a grade 0 derivation on the algebra. Together with the interior product (a degree 1 derivation on the exterior algebra defined by contraction with a vector field), the exterior derivative and the Lie derivative form a Lie superalgebra.
Дифференциалдық топология
Дифференциалдық топологияда векторлық өріс көпқырлы беттегі тегіс функциялар сақинасындағы туынды ретінде анықталуы мүмкін, ал тангенс вектор нүктедегі туынды ретінде анықталуы мүмкін. Бұл скалярлық функцияның бағытталған туындысы түсінігін жалпы көпқырлы беттерге абстракциялауға мүмкіндік береді. Егер көпқырлы бет Rn-нің ішкі жиыны болса, онда бұл тангенс векторы бағытталған туындымен сәйкес келеді. Көпқырлы беттер арасындағы бейнелеудің дифференциалы немесе итеруі – бұл бейнелеулердің тангенс кеңістіктері арасындағы туындаған бейнелеу. Ол Якоб матрицасын абстракциялайды.
In differential topology, a vector field may be defined as a derivation on the ring of smooth functions on a manifold, and a tangent vector may be defined as a derivation at a point. This allows the abstraction of the notion of a directional derivative of a scalar function to general manifolds. For manifolds that are subsets of Rn, this tangent vector will agree with the directional derivative. The differential or pushforward of a map between manifolds is the induced map between tangent spaces of those maps. It abstracts the Jacobian matrix.
Ковариантты туынды
Дифференциалдық геометрияда ковариантты туынды векторлық өрістердің қисықтар бойынша бағытты туындыларын есептеу үшін нақты әдіс таңдайды. Бұл скалярлық функциялардың бағытты туындысын векторлық топтамалар немесе бас топтамалардың қималарына дейін кеңейтеді. Риман геометриясында метриканың болуы Леви-Чивита байланысы деп аталатын бірегей, ең қолайлы және бұрылмасыз ковариантты туындыны анықтайды. Физикаға бағытталған қарастыру үшін өлшеулі ковариантты туындыны да қараңыз. Сыртқы ковариантты туынды сыртқы туындыны векторлық мәнді формаларға дейін кеңейтеді.
In differential geometry, the covariant derivative makes a choice for taking directional derivatives of vector fields along curves. This extends the directional derivative of scalar functions to sections of vector bundles or principal bundles. In Riemannian geometry, the existence of a metric chooses a unique preferred torsion free covariant derivative, known as the Levi Civita connection. See also gauge covariant derivative for a treatment oriented to physics. The exterior covariant derivative extends the exterior derivative to vector valued forms.
Қатты деривативтер
Жергілікті интегралданатын, бірақ міндетті түрде классикалық түрде дифференциалдана бермейтін функция берілген жағдайда, интегралдаудың бөліктері арқылы әлсіз туындыны анықтауға болады. Бірінші кезекте, шексіз дифференциалданатын және компактты таяулығы бар функцияларды, сондай-ақ көп индекстерді анықтаймыз, олар – кез келген ұзындықтағы бүтін сандар тізімі. Тест функцияларына қолданғанда, егер бар болса, функцияның әлсіз туындысы бар, осы функция барлық тест функциялары үшін келесідей болады:
Given a function which is locally integrable, but not necessarily classically differentiable, a weak derivative may be defined by means of integration by parts. First define test functions, which are infinitely differentiable and compactly supported functions , and multi indices, which are length lists of integers with Applied to test functions, Then the weak derivative of exists if there is a function such that for all test functions , we have
Егер мұндай функция болса, онда ол дерлік барлық жерде бірегей болады. Бұл анықтама функциялар үшін классикалық туындымен сәйкес келеді және тест функцияларының жалпыланған функциялар түріне, яғни қос кеңістігіне кеңейтілуі мүмкін. Әлсіз туындылар, әсіресе, дербес дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде және функционалдық анализдің кейбір салаларында өте пайдалы.
If such a function exists, then , which is unique almost everywhere. This definition coincides with the classical derivative for functions , and can be extended to a type of generalized functions called distributions, the dual space of test functions. Weak derivatives are particularly useful in the study of partial differential equations, and within parts of functional analysis.
Жоғары дәрежелі және бөлшек туындылар
Нақты сандарда дифференциациялау процесін қайталап, яғни туындыларды бірнеше рет қолдану арқылы екінші және жоғары ретті туындыларды алуға болады. Жоғары ретті туындылар бірнеше айнымалысы бар функциялар үшін де анықталуы мүмкін, және олар көп айнымалылы есепте зерттеледі. Мұндай жағдайда, туындыны қайталап қолданудың орнына, әртүрлі айнымалылар бойынша жартылай туындыларды қайталап қолданады. Мысалы, n айнымалысы бар скалярлық функцияның екінші ретті жартылай туындыларын n x n матрица түрінде жинақтап, Гессиан матрицасын құруға болады. Маңызды жайт – жоғары ретті туындылар өзінен анықталмайды және координаттарды таңдауға күрделі түрде байланысты (әсіресе, функцияның Гессиан матрицасы тензор болып табылмайды). Дегенмен, жоғары ретті туындылар функцияның сындық нүктелеріндегі жергілікті экстремумдарды талдау үшін маңызды қолданысқа ие. Бұл талдаудың көпқырлылықтар топологиясына қолданылуы үшін Морзе теориясын қараңыз. Кез келген натурал сан n үшін n-ші ретті туындылардан басқа, бөлшектік немесе теріс ретті туындыларды анықтаудың әртүрлі тәсілдері бар, олар бөлшектік есепте зерттеледі. −1 ретті туынды интегралға сәйкес келеді, сондықтан «дифференциалдық интеграл» термині пайда болды.
In the real numbers one can iterate the differentiation process, that is, apply derivatives more than once, obtaining derivatives of second and higher order. Higher derivatives can also be defined for functions of several variables, studied in multivariable calculus. In this case, instead of repeatedly applying the derivative, one repeatedly applies partial derivatives with respect to different variables. For example, the second order partial derivatives of a scalar function of n variables can be organized into an n by n matrix, the Hessian matrix. One of the subtle points is that the higher derivatives are not intrinsically defined, and depend on the choice of the coordinates in a complicated fashion (in particular, the Hessian matrix of a function is not a tensor). Nevertheless, higher derivatives have important applications to analysis of local extrema of a function at its critical points. For an advanced application of this analysis to topology of manifolds, see Morse theory. In addition to n th derivatives for any natural number n, there are various ways to define derivatives of fractional or negative orders, which are studied in fractional calculus. The −1 order derivative corresponds to the integral, whence the term differintegral.
Айырма оператор, q-аналогтар және уақыт шкалалары
Функцияның q туындысы формуламен анықталады. x нөлге тең болмаса, егер f x-тің дифференциалданатын функциясы болса, онда q → 1 лимитінде біз обыкновенды туындыны аламыз, сондықтан q туындысын оның q деформациясы деп қарастыруға болады. Обыкновенды дифференциалдық есептеудің көптеген нәтижелері, мысалы, бином формуласы және Тейлор қатары, 19-шы ғасырда ашылған табиғи q аналогтарына ие, бірақ 20-шы ғасырдың көп бөлігінде ерекше функциялар теориясынан тыс, салыстырмалы түрде белеңсіз қалды. Комбинаториканың жетістіктері және кванттық топтардың ашылуы жағдайды күрт өзгертті, ал q аналогтарының танымалдылығы артып келеді. Айырма теңдеулерінің айырма операторы – стандартты туындының тағы бір дискретті аналогы. q туындысы, айырма операторы және стандартты туынды бір-бірімен әртүрлі уақыт масштабтарында бірдей нәрсе ретінде қарастырылуы мүмкін. Мысалы, алып, бізде болуы мүмкін. q туындысы – Ханн айырмасының ерекше жағдайы. Ханн айырмасы тек q туындысын ғана жалпылаумен шектелмейді, сонымен қатар алға жылға айырманың кеңейтілуі болып табылады. Сондай-ақ, q туындысы – таныс туындының ерекше жағдайы екенін ескеріңіз. Алып, онда бізде болады.
The q derivative of a function is defined by the formula For x nonzero, if f is a differentiable function of x then in the limit as q → 1 we obtain the ordinary derivative, thus the q derivative may be viewed as its q deformation. A large body of results from ordinary differential calculus, such as binomial formula and Taylor expansion, have natural q analogues that were discovered in the 19th century, but remained relatively obscure for a big part of the 20th century, outside of the theory of special functions. The progress of combinatorics and the discovery of quantum groups have changed the situation dramatically, and the popularity of q analogues is on the rise. The difference operator of difference equations is another discrete analog of the standard derivative. The q derivative, the difference operator and the standard derivative can all be viewed as the same thing on different time scales. For example, taking , we may have The q derivative is a special case of the Hahn difference, The Hahn difference is not only a generalization of the q derivative but also an extension of the forward difference. Also note that the q derivative is nothing but a special case of the familiar derivative. Take Then we have,
Алгебрадағы туындылар
Алгебрада туындының жалпылама нұсқаларын алгебралық құрылымға, мысалы сақинаға немесе Ли алгебрасына Лейбництің дифференциалдау ережесін қолдану арқылы алуға болады.
In algebra, generalizations of the derivative can be obtained by imposing the Leibniz rule of differentiation in an algebraic structure, such as a ring or a Lie algebra.
Түрдегі туынды
Типтер теориясында көптеген абстрактілі деректер типтерін, типке негізделген құрылымдарды типке қайта бейнелейтін түрлендіру арқылы туындаған алгебра ретінде сипаттауға болады. Мысалы, A типіндегі мәндерді қамтитын бинарлық ағаштардың T типін 1+A×T2→T түрлендіруі арқылы туындаған алгебра ретінде бейнелеуге болады. "1" бос ағаш құрастыруды білдіреді, ал екінші мүше мән мен екі кіші ағаштан ағаш құрастыруды білдіреді. "+" таңбасы ағашты екі тәсілдің біреуімен құрастыруға болатынын көрсетеді. Мұндай типтің туындысы – белгілі бір кіші құрылымның оны қамтитын келесі сыртқы құрылымға қатысты контекстін сипаттайтын тип. Басқаша айтқанда, бұл екі құрылым арасындағы "айырмашылықты" көрсететін тип. Ағаш мысалында, туынды – берілген кіші ағашқа сүйене отырып, оның ата-ана ағашын құру үшін қажетті ақпаратты сипаттайтын тип. Бұл ақпарат кіші ағаш сол жақта ма, оң жақта ма, ата-анадағы мән және туысқан кіші ағаш туралы екілік көрсеткішті қамтитын жұп болады. Бұл типті 2×A×T түрінде көрсетуге болады, бұл ағаш типін тудырған түрлендірудің туындысына өте ұқсас. Типтің туындысы деген ұғымның функционалдық бағдарламалау тілдерінде қолданылатын циппер техникасы сияқты практикалық қолданыстары бар.
In type theory, many abstract data types can be described as the algebra generated by a transformation that maps structures based on the type back into the type. For example, the type T of binary trees containing values of type A can be represented as the algebra generated by the transformation 1+A×T2→T. The "1" represents the construction of an empty tree, and the second term represents the construction of a tree from a value and two subtrees. The "+" indicates that a tree can be constructed either way. The derivative of such a type is the type that describes the context of a particular substructure with respect to its next outer containing structure. Put another way, it is the type representing the "difference" between the two. In the tree example, the derivative is a type that describes the information needed, given a particular subtree, to construct its parent tree. This information is a tuple that contains a binary indicator of whether the child is on the left or right, the value at the parent, and the sibling subtree. This type can be represented as 2×A×T, which looks very much like the derivative of the transformation that generated the tree type. This concept of a derivative of a type has practical applications, such as the zipper technique used in functional programming languages.
Басқа жалпылаулар
Функционалдық талдауда функциялық туынды функциялар кеңістігіндегі функцияның функциясы бойынша туындыны анықтайды. Бұл шексіз өлшемді векторлық кеңістікке бағытталған туындының кеңейтілуі. Вариациялық туынды вариациялық есептеуде маңызды жағдай болып табылады. Субдириватив және субградиент – конвекстік талдауда қолданылатын конвекстік функциялардың туындысының жалпыламалары. Коммутативтік алгебрада Кэлер дифференциалдары – коммутативтік сақинаның немесе модульдің әмбебап туындылары. Олар дифференциалдық геометриядан сыртқы туындының аналогын анықтау үшін қолданылуы мүмкін, ол жай ғана тегіс көптүрліліктердің орнына кез келген алгебралық сорттарға қолданылады. p-адық талдауда туындының әдеттегі анықтамасы жеткілікті берік емес, сондықтан қатаң дифференциалдану қажет. Гато туындысы Фреше туындысын жергілікті пішіндегі топологиялық векторлық кеңістікке дейін кеңейтеді. Фреше дифференциалдануы, тіпті шекті өлшемдерде де, Гато дифференциалдануынан қатаң түрде күшті шарт болып табылады. Екі шектің арасында квази-туынды бар. Өлшемдер теориясында Радон–Никодим туындысы Якобианды, айнымалыларды ауыстыру үшін қолданылатынын, өлшемдерге жалпылайды. Ол μ өлшемін ν өлшемі арқылы (белгілі бір шарттарда) көрсетеді. H-туындысы – абстрактілі Винер кеңістіктері мен Мальявин есептеуін зерттеудегі туындының түсінігі. Ол стохастикалық процестерді зерттеуде қолданылады. Фракталдарда Лапласиан және Лапласианды қолданатын дифференциалдық теңдеулерді анықтауға болады. Бірінші реттік туындының немесе градиенттің толыққанды қанағаттандыратын аналогы жоқ. Карлиц туындысы – әдеттегі дифференциалдануға ұқсас операция, бірақ нақты немесе кешенді сандардың әдеттегі контексі оң сипаттамасы бар жергілікті өрістерге, белгілі бір шекті өрістегі Fq коэффициенттері бар ресми Лоран қатарлары түрінде ауысады (оң сипаттамасы бар кез келген жергілікті өріс Лоран қатарлары өрісіне изоморфты екені белгілі). Экспоненциалдық функциялардың, логарифмдердің және басқаларының тиісті анықталған аналогтарымен бірге туынды, тегістік, талдау, интегралдау, Тейлор қатарлары және дифференциалдық теңдеулер теориясы туралы түсініктерді дамыту үшін қолданылуы мүмкін. Жоғарыда аталған туындының кеңейтілуінің немесе абстракциялануының екі немесе одан да көп түсініктерін біріктіру мүмкін. Мысалы, Финслер геометриясында жергілікті жағынан Банах кеңістіктеріне ұқсас кеңістіктер зерттеледі. Сондықтан функционалдық туындының кейбір ерекшеліктері бар және ковариантты туынды бар туынды қажет болуы мүмкін. Көбейтулі есептеу қосуды көбейтумен алмастырады, сондықтан айырмашылықтардың қатынасының лимитін қарастырудың орнына, қатынастардың экспоненциациясының лимитін қарастырады. Бұл геометриялық туындыны және бигеометриялық туындыны дамытуға мүмкіндік береді. Сонымен қатар, классикалық дифференциалдық оператордың дискретті аналогы бар сияқты, айырма операторы, осы көбейтулі туындылардың дискретті аналогтары да бар.
In functional analysis, the functional derivative defines the derivative with respect to a function of a functional on a space of functions. This is an extension of the directional derivative to an infinite dimensional vector space. An important case is the variational derivative in the calculus of variations. The subderivative and subgradient are generalizations of the derivative to convex functions used in convex analysis. In commutative algebra, Kähler differentials are universal derivations of a commutative ring or module. They can be used to define an analogue of exterior derivative from differential geometry that applies to arbitrary algebraic varieties, instead of just smooth manifolds. In p adic analysis, the usual definition of derivative is not quite strong enough, and one requires strict differentiability instead. The Gateaux derivative extends the Fréchet derivative to locally convex topological vector spaces. Fréchet differentiability is a strictly stronger condition than Gateaux differentiability, even in finite dimensions. Between the two extremes is the quasi derivative. In measure theory, the Radon–Nikodym derivative generalizes the Jacobian, used for changing variables, to measures. It expresses one measure μ in terms of another measure ν (under certain conditions). The H derivative is a notion of derivative in the study of abstract Wiener spaces and the Malliavin calculus. It is used in the study of stochastic processes. Laplacians and differential equations using the Laplacian can be defined on fractals. There is no completely satisfactory analog of the first order derivative or gradient. The Carlitz derivative is an operation similar to usual differentiation but with the usual context of real or complex numbers changed to local fields of positive characteristic in the form of formal Laurent series with coefficients in some finite field Fq (it is known that any local field of positive characteristic is isomorphic to a Laurent series field). Along with suitably defined analogs to the exponential function, logarithms and others the derivative can be used to develop notions of smoothness, analycity, integration, Taylor series as well as a theory of differential equations. It may be possible to combine two or more of the above different notions of extension or abstraction of the original derivative. For example, in Finsler geometry, one studies spaces which look locally like Banach spaces. Thus one might want a derivative with some of the features of a functional derivative and the covariant derivative. Multiplicative calculus replaces addition with multiplication, and hence rather than dealing with the limit of a ratio of differences, it deals with the limit of an exponentiation of ratios. This allows the development of the geometric derivative and bigeometric derivative. Moreover, just like the classical differential operator has a discrete analog, the difference operator, there are also discrete analogs of these multiplicative derivatives.