Введение

Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления: термин, используемый в математике

В математике производная является фундаментальной конструкцией дифференциального исчисления и допускает множество возможных обобщений в областях математического анализа, комбинаторики, алгебры, геометрии и других.

Внешняя производная и производная Ли

На внешней алгебре дифференциальных форм над гладким многообразием внешняя производная является единственным линейным отображением, удовлетворяющим градуированной версии закона Лейбница и аннулирующимся при возведении в квадрат. Это производная первого порядка по внешней алгебре. В R3 градиент, ротор и дивергенция являются частными случаями внешней производной. Интуитивно градиент можно интерпретировать как направление "вверх", то есть в направлении наиболее быстрого возрастания функции. Он может использоваться для вычисления направленных производных скалярных функций или нормальных векторов. Дивергенция показывает меру наличия "источника" или "стока" вблизи точки и может быть использована для вычисления потока с помощью теоремы о дивергенции. Ротор измеряет "вращение" векторного поля вблизи точки. Производная Ли описывает скорость изменения векторного или тензорного поля вдоль потока другого векторного поля. Для векторных полей это пример скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли группы диффеоморфизмов многообразия). Это производная нулевого порядка по алгебре. Вместе с внутренним произведением (производная первого порядка по внешней алгебре, определяемая сверткой с векторным полем), внешняя производная и производная Ли образуют супералгебру Ли.

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии векторное поле может быть определено как дифференцирование на кольце гладких функций на многообразии, а тангенциальный вектор – как дифференцирование в точке. Это позволяет обобщить понятие направленной производной скалярной функции на общие многообразия. Для многообразий, являющихся подмножествами Rn, этот тангенциальный вектор совпадает с направленной производной. Дифференциал или прямое отображение между многообразиями – это индуцированное отображение между касательными пространствами этих многообразий. Он обобщает якобиан.

Ковариантная производная

В дифференциальной геометрии ковариантная производная определяет способ вычисления направленных производных векторных полей вдоль кривых. Она расширяет понятие направленной производной скалярных функций на сечения векторных расслоений или главных расслоений. В римановой геометрии существование метрики однозначно определяет предпочтительную ковариантную производную без кручения, известную как связность Леви-Чивиты. См. также ковариантную производную калибровочного поля для подхода, ориентированного на физику. Внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную на векторнозначные дифференциальные формы.

Слабые производные

При наличии функции, которая локально интегрируема, но не обязательно классически дифференцируема, слабая производная может быть определена с помощью интегрирования по частям. Сначала определим тестовые функции, которые являются бесконечно дифференцируемыми функциями с компактным носителем, и мультииндексы, представляющие собой списки целых чисел длины *n*. Применяя их к тестовым функциям, слабая производная функции *u* существует, если существует функция *v* такая, что для всех тестовых функций *φ* выполняется:

∫ *u* ∂*φ* dx = ∫ *v* *φ* dx.

Если такая функция существует, то *v* определена почти всюду однозначно. Это определение совпадает с классической производной для функций, обладающих классической дифференцируемостью, и может быть расширено на тип обобщенных функций, называемых распределениями, которые являются двойственным пространством тестовых функций. Слабые производные особенно полезны при изучении уравнений в частных производных и в разделах функционального анализа.

Высокопорядочные и дробные производные

В действительных числах можно итерировать процесс дифференцирования, то есть применять производные многократно, получая производные второго и более высоких порядков. Производные высших порядков также могут быть определены для функций нескольких переменных, изучаемых в многовариантном анализе. В этом случае вместо многократного применения производной, многократно применяются частные производные по различным переменным. Например, частные производные второго порядка скалярной функции от n переменных можно упорядочить в матрицу n x n, называемую матрицей Гессе. Важный момент заключается в том, что производные высших порядков не определены изначально и зависят от выбора координат сложным образом (в частности, матрица Гессе функции не является тензором). Тем не менее, производные высших порядков имеют важное применение при анализе локальных экстремумов функции в её критических точках. Для углубленного применения этого анализа к топологии многообразий обратитесь к теории Морса. Помимо производных n-го порядка для любого натурального числа n, существуют различные способы определения производных дробного или отрицательного порядка, которые изучаются в дробном исчислении. Производная порядка -1 соответствует интегралу, отсюда и термин "дифференциальный интеграл".

Оператор разницы, q-аналоги и временные шкалы

q-производная функции определяется формулой. Для x, не равного нулю, если f является дифференцируемой функцией от x, то в пределе при q → 1 мы получаем обычную производную, таким образом, q-производная может рассматриваться как её q-деформация. Значительное количество результатов обычного дифференциального исчисления, таких как биномиальная формула и разложение Тейлора, имеют естественные q-аналоги, которые были открыты в XIX веке, но оставались относительно малоизвестными на протяжении большей части XX века, за пределами теории специальных функций. Прогресс в комбинаторике и открытие квантовых групп кардинально изменили ситуацию, и популярность q-аналогов возрастает. Оператор разности в уравнениях разности является ещё одним дискретным аналогом стандартной производной. q-производная, оператор разности и стандартная производная могут рассматриваться как одно и то же на различных масштабах времени. Например, взяв , мы можем получить . q-производная является частным случаем разности Хана. Разность Хана не только является обобщением q-производной, но и расширением прямой разности. Также следует отметить, что q-производная – это всего лишь частный случай обычной производной. Возьмем Тогда мы имеем,

Производные в алгебре

В алгебре обобщения производной можно получить, применяя правило дифференцирования Лейбница в алгебраической структуре, такой как кольцо или алгебра Ли.

Деривативный тип

В теории типов многие абстрактные типы данных могут быть описаны как алгебра, порожденная трансформацией, которая отображает структуры, основанные на типе, обратно в этот тип. Например, тип T двоичных деревьев, содержащих значения типа A, может быть представлен как алгебра, сгенерированная трансформацией 1 + A × T2 → T. "1" представляет собой построение пустого дерева, а второй член представляет собой построение дерева из значения и двух поддеревьев. "+" указывает на то, что дерево может быть построено любым из этих способов. Производный тип – это тип, описывающий контекст конкретной подструктуры относительно ее непосредственно внешней содержащей структуры. Иными словами, это тип, представляющий "разницу" между ними. В примере с деревом производная – это тип, описывающий информацию, необходимую, зная конкретное поддерево, для построения его родительского дерева. Эта информация представляет собой кортеж, содержащий двоичный индикатор положения дочернего элемента (слева или справа), значение в родительском узле и соседнее поддерево. Этот тип можно представить как 2 × A × T, что очень похоже на производную трансформации, породившей тип дерева. Эта концепция производной типа имеет практическое применение, например, в технике "zipper", используемой в функциональных языках программирования.

Другие обобщения

В функциональном анализе функциональная производная определяет производную по функции функционала на пространстве функций. Это расширение направленной производной на бесконечномерное векторное пространство. Важным частным случаем является вариационная производная в исчислении вариаций. Субдифференциал и субградиент — обобщения производной для выпуклых функций, используемые в выпуклом анализе. В коммутативной алгебре дифференциалы Келера являются универсальными производными коммутативного кольца или модуля. Они могут быть использованы для определения аналога внешней производной из дифференциальной геометрии, применимого к произвольным алгебраическим многообразиям, а не только к гладким многообразиям. В p-адическом анализе обычное определение производной недостаточно строго, и требуется строгая дифференцируемость. Производная Гато расширяет производную Фреше на локально выпуклые топологические векторные пространства. Дифференцируемость по Фреше является строго более сильным условием, чем дифференцируемость по Гато, даже в конечномерном случае. Между этими двумя крайностями находится квазипроизводная. В теории меры производная Радона — Никодима обобщает якобиан, используемый для смены переменных, на меры. Она выражает одну меру μ через другую меру ν (при определенных условиях). H-производная — это понятие производной в изучении абстрактных пространств Винера и исчисления Маллиавена. Она используется в исследовании стохастических процессов. Лапласианы и дифференциальные уравнения, использующие лапласиан, могут быть определены на фракталах. Не существует полностью удовлетворительного аналога производной первого порядка или градиента. Производная Карлица — это операция, аналогичная обычной дифференциации, но с заменой привычного контекста вещественных или комплексных чисел на локальные поля положительной характеристики в форме формальных рядов Лорана с коэффициентами в некотором конечном поле Fq (известно, что любое локальное поле положительной характеристики изоморфно полю Лорана). Наряду с соответствующим образом определенными аналогами экспоненциальной функции, логарифмов и других функций, производная может быть использована для разработки понятий гладкости, аналитичности, интегрирования, ряда Тейлора, а также теории дифференциальных уравнений. Возможно комбинирование двух или более из вышеуказанных различных понятий расширения или абстракции исходной производной. Например, в геометрии Финслера изучаются пространства, которые локально выглядят как пространства Банаха. Таким образом, может потребоваться производная, сочетающая в себе некоторые особенности функциональной производной и ковариантной производной. Умножительное исчисление заменяет сложение умножением и, следовательно, вместо работы с пределом отношения разностей, работает с пределом экспоненцирования отношений. Это позволяет разработать геометрическую производную и бигеометрическую производную. Более того, подобно тому, как классический дифференциальный оператор имеет дискретный аналог — оператор разности, существуют также дискретные аналоги этих мультипликативных производных.