Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы ұғым
Математикада, және әсіресе дифференциалдық геометрияда, гермиттік көптік – римандық көптіктің кешенді аналогы болып табылады. Нақтырақ айтқанда, гермиттік көптік – әрбір (голоморфты) жанама кеңістікте тегіс өзгеретін гермиттік ішкі көбейтіндіге ие кешенді көптік. Гермиттік көптікті кешенді құрылымды сақтайтын риман метрикасы бар нақты көптік ретінде де анықтауға болады. Кешенді құрылым – бұл интегралдану шарты бар дерлік кешенді құрылым, ал бұл шарт көптікке бірлік құрылымды (U(n) құрылымын) береді. Бұл шартты жою арқылы біз дерлік гермиттік көптікке ие боламыз. Кез келген дерлік гермиттік көптік үшін таңдалған метрикаға және дерлік кешенді құрылымға ғана тәуелді негізгі 2-форманы (немесе косимплекстік құрылымды) енгізуге болады. Бұл форма әрқашан бұрмаланбаған болады. Егер ол жабық болса (яғни симплектикалық форма) деген қосымша интегралдану шарты болса, онда біз дерлік кэлер құрылымын аламыз. Егер дерлік кешенді құрылым да, негізгі форма да интегралдануға ие болса, онда бізде кэлер құрылымы болады.
Қасиеттері
Кез келген (шамамен) күрделі көптік гермиттік метрикаға ие. Бұл Риманн метрикасы үшін соған ұқсас тұжырымнан тікелей туындайды. Шамамен күрделі көптік M-ге берілген кез келген Риманн метрикасы g үшін, шамамен күрделі құрылым J-мен үйлесімді жаңа метрика g'-ді анықтап құруға болады:
Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n) structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n) bundle of all unitary frames. Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1) form ω by
where ω^(n) is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n) form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.
Шамамен күрделі көптік M-де гермиттік метриканы таңдау, M-де U(n) құрылымын таңдауға тең; яғни, M фрейм бунделінің құрылым тобын GL(n, C)-ден бірлік топ U(n)-ге дейін азайту. Шамамен гермиттік көптіктегі бірлік кадр – бұл гермиттік метрикаға қатысты ортонормалды күрделі сызықтық кадр. M-нің бірлік кадр бунделі – барлық бірлік кадрлардың негізгі U(n) бунделі. Кез келген шамамен гермиттік көптік M үшін g-мен анықталатын Риманн көлем формасынан туындайтын канондық көлем формасы бар. Бұл форма ω-мен байланысты (1,1) формасы арқылы беріледі, мұнда ω^(n) – ω-нің өзімен n рет кенелік көбейтіндісі. Сондықтан көлем формасы M-де нақты (n,n) форма болып табылады. Жергілікті голоморфты координаттарда көлем формасы былай беріледі:
Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n) structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n) bundle of all unitary frames. Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1) form ω by
where ω^(n) is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n) form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.
Гермиттік метриканы голоморфты векторлық шоғырға да қарастыруға болады.
Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n) structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n) bundle of all unitary frames. Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1) form ω by
where ω^(n) is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n) form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.
Келер коллекторлары
Гермиттік көптүрліліктердің ең маңызды класы – Кэлер көптүрліліктері. Бұл гермиттік көптүрліліктер, олар үшін гермиттік форма ω жабық:
Осы жағдайда ω формасы Кэлер формасы деп аталады. Кэлер формасы – симплектикалық форма, сондықтан Кэлер көптүрліліктері табиғи түрде симплектикалық көптүрліліктер болып табылады. Байланысты (1,1) формасы жабық болатын дерлік гермиттік көптүрлілікке дерлік Кэлер көптүрлілігі деп аталады. Кез келген симплектикалық көптүрлілік оны дерлік Кэлер көптүрлілігіне айналдыратын үйлесімді дерлік кешенді құрылымға ие болады.