Введение
Понятие в дифференциальной геометрии
В математике, и в частности в дифференциальной геометрии, гермитово многообразие является комплексным аналогом риманова многообразия. Более точно, гермитово многообразие — это комплексное многообразие с гладко меняющимся эрмитовым внутренним произведением на каждом (голоморфном) касательном пространстве. Также можно определить гермитово многообразие как вещественное многообразие с римановой метрикой, сохраняющей комплексную структуру. Комплексная структура по сути является почти комплексной структурой с условием интегрируемости, и это условие порождает унитарную структуру (U(n)-структуру) на многообразии. Отбрасывая это условие, мы получаем почти гермитово многообразие. На любом почти гермитовом многообразии можно ввести фундаментальную 2-форму (или косимплектическую структуру), которая зависит только от выбранной метрики и почти комплексной структуры. Эта форма всегда невырождена. При дополнительном условии интегрируемости, заключающемся в том, что она замкнута (то есть является симплектической формой), мы получаем почти кэлерову структуру. Если и почти комплексная структура, и фундаментальная форма интегрируемы, то мы имеем кэлерову структуру.
Свойства
Каждый (почти) комплексный многообразный допускает эрмитову метрику. Это следует непосредственно из аналогичного утверждения для римановой метрики. Для произвольной римановой метрики g на почти комплексном многообразии M можно построить новую метрику g′, совместимую с почти комплексной структурой J, очевидным образом: выбор эрмитовой метрики на почти комплексном многообразии M эквивалентен выбору U(n)-структуры на M, то есть, редукции группы структуры расслоения кадров M от GL(n, C) до унитарной группы U(n). Унитарный кадр на почти эрмитовом многообразии – это комплексно-линейный кадр, который ортонормален относительно эрмитовой метрики. Расслоение унитарных кадров M является главным U(n)-расслоением, состоящим из всех унитарных кадров. Каждое почти эрмитово многообразие M имеет каноническую форму объёма, которая является просто римановой формой объёма, определяемой g. Эта форма выражается через ассоциированную (1,1)-форму ω следующим образом:
Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n) structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n) bundle of all unitary frames. Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1) form ω by
where ω^(n) is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n) form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.
где ω^(n) – внешнее произведение ω с самим собой n раз. Таким образом, форма объёма является вещественной (n,n)-формой на M. В локальных голоморфных координатах форма объёма задаётся формулой
Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n) structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n) bundle of all unitary frames. Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1) form ω by
where ω^(n) is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n) form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.
Также можно рассматривать эрмитову метрику на голоморфном векторном расслоении.
Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n) structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n) bundle of all unitary frames. Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1) form ω by
where ω^(n) is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n) form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by
One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.
Коллекторы Kähler
Наиболее важным классом эрмитовых многообразий являются многообразия Кэлера. Это эрмитовы многообразия, для которых эрмитова форма ω замкнута:
В этом случае форма ω называется формой Кэлера. Форма Кэлера является симплектической формой, и следовательно, многообразия Кэлера естественным образом являются симплектическими многообразиями. Эрмитово многообразие, связанная с ним (1,1)-форма которого замкнута, естественно называется почти кэлеровым многообразием. Любое симплектическое многообразие допускает совместимую почти комплексную структуру, превращающую его в почти кэлерово многообразие.