Кіріспе
Бағдарланған, нақты векторлық топтамалардың сипаттама класы. Математикада, әсіресе алгебралық топологияда, Эйлер класы – бағдарланған, нақты векторлық топтамалардың сипаттама класы болып табылады. Басқа сипаттамалық кластар сияқты, ол векторлық топтаманың қаншалықты "қиылысқандығын" өлшейді. Жұпсық көпқырлының жанамалық түйіні жағдайында, ол Эйлер сипаттамасының классикалық түсінігін кеңейтеді. Осы себепті ол Леонард Эйлердің құрметіне аталған. Осы мақаланың барлық бөлімінде базалық кеңістіктегі реттік бағытталған, нақты векторлық топтама қарастырылады.
In mathematics, specifically in algebraic topology, the Euler class is a characteristic class of oriented, real vector bundles. Like other characteristic classes, it measures how "twisted" the vector bundle is. In the case of the tangent bundle of a smooth manifold, it generalizes the classical notion of Euler characteristic. It is named after Leonhard Euler because of this. Throughout this article is an oriented, real vector bundle of rank over a base space .
Жалпы кесіндідегі жоғалып бара жатқан локус
Ойлер класы келесідей қиманың жоғалу орнына сәйкес келеді. Егер – бағытталған, тегіс көптүрлілік болса, оның өлшемі болсын. – нөлдік қимамен көлденең қиылысатын тегіс қима болсын. – қимасының нөлдік локусы болсын. Онда – көптүрлілігінің кодименсиялық ішкі көптүрлілігі болып табылады, ол гомология класын білдіреді, ал – класының Пуанкаре дуалы.
Өзін-өзі қиылысу
Мысалы, егер компактты кішікөптүрлік болса, онда -ның ішіндегі нормальдық бундельдің Эйлер класы, -тің өзімен-өзінің қиылысуымен табиғи түрде анықталады.
Понтрагин класының жоғарғы жағына қарай
Понтриагин класы E-нің күрделіленуінің Черн класы ретінде анықталады: Күрделілену бағытталған шоғыр ретінде E-нің Ойлер кластарымен салыстырылады. Егер E-нің ранкі r жұп болса, онда болады, мұндағы – -нің ең жоғарғы өлшемді Понтриагин класы.
The complexification is isomorphic as an oriented bundle to Comparing Euler classes, we see that
If the rank r of E is even then where is the top dimensional Pontryagin class of .
Тұрақсыздық
Егер where бірінші дәрежелі тривиальды бундель болса, онда сипаттамалық класс тұрақты болады. Басқа сипаттамалық кластардан айырмашылығы, Эйлер класы тұрақсыз. Шын мәнінде, Эйлер класы классификациялық кеңістіктегі BSO(k) кохомология класы арқылы бейнеленеді. Эйлер класының тұрақсыздығы, оның инклюзия арқылы алынған класс емес екенін көрсетеді. Бұл интуитивті түрде Эйлер класының дәрежесі бундельдің (немесе көпқырлының, егер тангенс бундель болса) өлшемдеріне байланысты екендігінен көрінеді: Эйлер класы бундельдің өлшемі q болатын элементі, ал басқа кластардың өлшемдері тұрақты (мысалы, бірінші Стифел-Уитни класы - элементі). Эйлер класының тұрақсыздығын «кемшілік» деп қарастыруға болмайды: керісінше, ол Эйлер класы «тұрақсыз құбылыстарды анықтайды» дегенді білдіреді. Мысалы, жұп өлшемді сфераның тангенс бундели тұрақты түрде тривиальды, бірақ тривиальды емес (сфераның әдеттегі инклюзиясы тривиальды қалыпты бундельге ие, сондықтан сфераның тангенс бундели плюс тривиальды түзу бундели – Евклид кеңістігінің тангенс бундели, ол шегінде тривиальды). Сондықтан, сфера үшін басқа сипаттамалық кластардың барлығы да нөлге тең болады, бірақ Эйлер класы жұп сфералар үшін нөлге тең болмайды, бұл тривиальды емес инвариантты қамтамасыз етеді.
The Euler class is represented by a cohomology class in the classifying space BSO(k) The unstability of the Euler class shows that it is not the pull back of a class in under the inclusion
This can be seen intuitively in that the Euler class is a class whose degree depends on the dimension of the bundle (or manifold, if the tangent bundle): the Euler class is an element of where is the dimension of the bundle, while the other classes have a fixed dimension (e. g., the first Stiefel Whitney class is an element of ). The fact that the Euler class is unstable should not be seen as a "defect": rather, it means that the Euler class "detects unstable phenomena". For instance, the tangent bundle of an even dimensional sphere is stably trivial but not trivial (the usual inclusion of the sphere has trivial normal bundle, thus the tangent bundle of the sphere plus a trivial line bundle is the tangent bundle of Euclidean space, restricted to , which is trivial), thus other characteristic classes all vanish for the sphere, but the Euler class does not vanish for even spheres, providing a non trivial invariant.
Дөңгелек
Цилиндр – шеңбер үстіндегі сызық шоғыры, табиғи проекция арқылы. Бұл тривиальді сызық шоғыры, сондықтан ол нөлге тең емес қимаға ие, демек оның Эйлер класы 0-ге тең. Сонымен қатар, ол шеңбердің жанындағы бунделіне изоморфты; оның Эйлер класы 0-ге тең болуы шеңбердің Эйлер сипаттамасы 0-ге тең болуымен сәйкес келеді.