Введение
Характерный класс ориентированных, вещественных векторных расслоений. В математике, в частности в алгебраической топологии, класс Эйлера является характеристическим классом ориентированных, вещественных векторных расслоений. Как и другие характеристические классы, он измеряет степень "скрученности" векторного расслоения. В случае тангенциального расслоения гладкого многообразия он обобщает классическое понятие эйлеровой характеристики. Он назван в честь Леонарда Эйлера в связи с этим. На протяжении всей этой статьи рассматривается ориентированное, вещественное векторное расслоение ранга *r* над базовым пространством *X*.
In mathematics, specifically in algebraic topology, the Euler class is a characteristic class of oriented, real vector bundles. Like other characteristic classes, it measures how "twisted" the vector bundle is. In the case of the tangent bundle of a smooth manifold, it generalizes the classical notion of Euler characteristic. It is named after Leonhard Euler because of this. Throughout this article is an oriented, real vector bundle of rank over a base space .
Исчезающий локус общего сечения
Класс Эйлера соответствует исчезающему локусу сечения следующим образом. Пусть M – ориентированное гладкое многообразие размерности n. Пусть s – гладкое сечение, трансверсально пересекающее нулевое сечение. Пусть Z – нуль-локус сечения s. Тогда Z – подмногообразие коразмерности 1 в M, представляющее класс гомологии [Z], и класс Эйлера является двойственным по Пуанкаре к [Z].
Саморезание
Например, если является компактным подмногообразием, то класс Эйлера нормального расслоения к в естественным образом отождествляется с самопересечением в .
Квадраты к вершине класса Понтрагин
Класс Понтриагина определяется как класс Черна комплексификации E: комплексификация изоморфна как ориентированный расслоение. Сравнивая классы Эйлера, мы видим, что если ранг r расслоения E четен, то, где – старший класс Понтриагина расслоения.
The complexification is isomorphic as an oriented bundle to Comparing Euler classes, we see that
If the rank r of E is even then where is the top dimensional Pontryagin class of .
Нестабильность
Характерный класс стабилен, если , где – тривиальный пучок ранга один. В отличие от большинства других характеристических классов, класс Эйлера нестабилен. Фактически, класс Эйлера представлен классом когомологий в классифицирующем пространстве BSO(k). Нестабильность класса Эйлера показывает, что он не является обратным образом класса из под включением . Это можно интуитивно понять, учитывая, что класс Эйлера – это класс, степень которого зависит от размерности пучка (или многообразия, если речь идет о касательном пучке): класс Эйлера является элементом , где – размерность пучка, в то время как другие классы имеют фиксированную размерность (например, первый класс Штифеля-Уитни является элементом ). Тот факт, что класс Эйлера нестабилен, не следует рассматривать как недостаток: скорее, это означает, что класс Эйлера "чувствителен к нестабильным явлениям". Например, касательный пучок четноразмерной сферы стабильно тривиален, но не тривиален (стандартное включение сферы имеет тривиальный нормальный пучок, таким образом, касательный пучок сферы плюс тривиальный пучок прямой является касательным пучком евклидова пространства, ограниченным , который является тривиальным). Следовательно, другие характеристические классы обращаются в нуль для сферы, но класс Эйлера не обращается в нуль для четных сфер, предоставляя нетривиальный инвариант.
The Euler class is represented by a cohomology class in the classifying space BSO(k) The unstability of the Euler class shows that it is not the pull back of a class in under the inclusion
This can be seen intuitively in that the Euler class is a class whose degree depends on the dimension of the bundle (or manifold, if the tangent bundle): the Euler class is an element of where is the dimension of the bundle, while the other classes have a fixed dimension (e. g., the first Stiefel Whitney class is an element of ). The fact that the Euler class is unstable should not be seen as a "defect": rather, it means that the Euler class "detects unstable phenomena". For instance, the tangent bundle of an even dimensional sphere is stably trivial but not trivial (the usual inclusion of the sphere has trivial normal bundle, thus the tangent bundle of the sphere plus a trivial line bundle is the tangent bundle of Euclidean space, restricted to , which is trivial), thus other characteristic classes all vanish for the sphere, but the Euler class does not vanish for even spheres, providing a non trivial invariant.
Круг
Цилиндр является расслоением прямой над окружностью, посредством естественной проекции. Это тривиальное расслоение прямой, поэтому оно обладает сечением, не обращающимся в нуль ни в одной точке, и, следовательно, его класс Эйлера равен 0. Оно также изоморфно касательному расслоению окружности; тот факт, что его класс Эйлера равен 0, соответствует тому, что эйлерова характеристика окружности равна 0.