Функциялардың жартылай үздіктігі: Жоғары және төменгі үздіктік
Hemicontinuity
Жалғасты функциялар математикада жиын-мәнді функцияларға қалай қолданылатынын біліңіз. Жоғары және төмен жартылай жалғастылық ұғымдары, анықтамалары мен қасиеттері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада функциялардың үздіксіздігі туралы ұғым екі жиынтық A және B арасындағы мәнді функцияларға бірден қолданылмайды. Жоғары және төменгі жартылай үздіксіздіктің екі ұғымы мұндай кеңейтуге мүмкіндік береді. Екі қасиеті бар мәнді функция, бірмәнді функциялардың сол аттас қасиетіне ұқсас, үздіксіз деп аталады. Екі ұғымды түсіндіру үшін, домендегі a нүктелерінің тізбегін және диапазоннан b нүктелерінің тізбегін қарастырайық. Егер b тізбегіндегі әрбір нүкте a тізбегіндегі сәйкес нүктенің бейнесінде болса, онда b тізбегі a тізбегіне сәйкес келеді деуге болады. Жоғары жартылай үздіксіздік талабы бойынша, домендегі кез келген жинақталатын a тізбегі үшін және a тізбегіне сәйкес келетін кез келген жинақталатын b тізбегі үшін, a тізбегінің лимитінің бейнесі b тізбегінің лимитін қамтиды. Төменгі жартылай үздіксіздік талабы бойынша, домендегі кез келген жинақталатын a тізбегі үшін және a тізбегінің лимитінің бейнесіндегі кез келген x нүктесі үшін, a тізбегінің x-ке жинақталатын b тізбегіне сәйкес келетін b тізбегі болуы керек.
In mathematics, the notion of the continuity of functions is not immediately extensible to set valued functions between two sets A and B. The dual concepts of upper hemicontinuity and lower hemicontinuity facilitate such an extension. A set valued function that has both properties is said to be continuous in an analogy to the property of the same name for single valued functions. To explain both notions, consider a sequence a of points in a domain, and a sequence b of points in the range. We say that b corresponds to a if each point in b is contained in the image of the corresponding point in a. Upper hemicontinuity requires that, for any convergent sequence a in a domain, and for any convergent sequence b that corresponds to a, the image of the limit of a contains the limit of b. Lower hemicontinuity requires that, for any convergent sequence a in a domain, and for any point x in the image of the limit of a, there exists a sequence b that corresponds to a subsequence of a, that converges to x.
Мысалдар
Оң жақтағы суретте x нүктесінде төменгі жартылай үздіксіз емес функция көрсетілген. Мұны көру үшін, a тізбегі x-ке сол жақтан жақындасын. x-тің кескіні – (x,y) нүктесін қамтитын тік сызық. Бірақ a тізбегіне сәйкес келетін әрбір b тізбегі төменгі көлденең сызықта орналасқан, сондықтан ол y-ға жақындаса алмайды. Керісінше, функция барлық жерде жоғарғы жартылай үздіксіз. Мысалы, кез келген a тізбегін қарастырайық, ол сол жақтан немесе оң жақтан x-ке жақындасады, және кез келген сәйкес b тізбегі үшін, b-нің лиміті a-ның лимітінің кескіні болып табылатын тік сызықта болады. Сол жақтағы суретте x нүктесінде жоғарғы жартылай үздіксіз емес функция көрсетілген. Мұны көру үшін, a тізбегі x-ке оң жақтан жақындасын. a-ның кескінінде тік сызықтар бар, сондықтан f(x)-тен қашық болатын барлық элементтері бар b тізбегі бар. a-ның лимітінің кескіні f(x) бір нүктесін қамтиды, сондықтан ол b-нің лимітін қамтымайды. Керісінше, бұл функция барлық жерде төменгі жартылай үздіксіз. Мысалы, кез келген a тізбегі үшін, ол солдан немесе оңнан x-ке жақындасады, f(x) бір нүктеден тұрады, және f(x)-ке жақындасатын сәйкес b тізбегі бар.
The image on the right shows a function that is not lower hemicontinuous at x. To see this, let a be a sequence that converges to x from the left. The image of x is a vertical line that contains some point (x,y). But every sequence b that corresponds to a is contained in the bottom horizontal line, so it cannot converge to y. In contrast, the function is upper hemicontinuous everywhere. For example, considering any sequence a that converges to x from the left or from the right, and any corresponding sequence b, the limit of b is contained in the vertical line that is the image of the limit of a. The image on the left shows a function that is not upper hemicontinuous at x. To see this, let a be a sequence that converges to x from the right. The image of a contains vertical lines, so there exists a corresponding sequence b in which all elements are bounded away from f(x). The image of the limit of a contains a single point f(x), so it does not contain the limit of b. In contrast, that function is lower hemicontinuous everywhere. For example, for any sequence a that converges to x, from the left or from the right, f(x) contains a single point, and there exists a corresponding sequence b that converges to f(x).
Жалғастықты қамтамасыз ету
Егер жиынтық бағаланған функция жоғарғы жартылай үздіксіз және төменгі жартылай үздіксіз болса, оны үздіксіз деп айтады. Үздіксіз функция барлық жағдайларда жоғарғы және төменгі жартылай үздіксіз болады.
If a set valued function is both upper hemicontinuous and lower hemicontinuous, it is said to be continuous. A continuous function is in all cases both upper and lower hemicontinuous.