Введение
В математике понятие непрерывности функций не распространяется на функции, принимающие значения в множествах, между двумя множествами A и B напрямую. Для расширения этого понятия используются двойственные понятия верхней и нижней полунепрерывности. Функция, обладающая обоими свойствами, называется непрерывной по аналогии с одноименным свойством для однозначных функций. Чтобы объяснить оба понятия, рассмотрим последовательность точек *a* в области определения и последовательность точек *b* в области значений. Мы говорим, что *b* соответствует *a*, если каждая точка в *b* содержится в образе соответствующей точки в *a*. Верхняя полунепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности *a* в области определения и для любой сходящейся последовательности *b*, соответствующей *a*, образ предела *a* содержал предел *b*. Нижняя полунепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности *a* в области определения и для любой точки *x* в образе предела *a*, существовала последовательность *b*, соответствующая некоторой подпоследовательности *a*, которая сходится к *x*.
Примеры
На изображении справа показана функция, которая не является нижним полунепрерывной в точке x. Чтобы это увидеть, рассмотрим последовательность a, сходящуюся к x слева. Образ точки x – это вертикальная прямая, содержащая некоторую точку (x, y). Однако любая последовательность b, соответствующая a, содержится в нижней горизонтальной прямой, поэтому она не может сходиться к y. В отличие от этого, функция верхним полунепрерывна всюду. Например, рассмотрим любую последовательность a, сходящуюся к x слева или справа, и соответствующую ей последовательность b. Предел последовательности b содержится в вертикальной прямой, являющейся образом предела последовательности a. На изображении слева показана функция, которая не является верхним полунепрерывной в точке x. Чтобы это увидеть, рассмотрим последовательность a, сходящуюся к x справа. Образ последовательности a содержит вертикальные прямые, поэтому существует соответствующая последовательность b, все элементы которой отстоят от f(x). Образ предела последовательности a содержит единственную точку f(x), поэтому он не содержит предел последовательности b. В отличие от этого, эта функция нижним полунепрерывна всюду. Например, для любой последовательности a, сходящейся к x слева или справа, f(x) содержит единственную точку, и существует соответствующая последовательность b, сходящаяся к f(x).
Последствия для непрерывности
Если функция, принимающая значения в множествах, является одновременно верхнеполунепрерывной и нижнеполунепрерывной, то она называется непрерывной. Непрерывная функция во всех случаях является одновременно верхне- и нижнеполунепрерывной.