Рунге теоремасы: комплекс функцияларды рационалды функциялармен жуықтау
Runge's theorem
Runge теоремасы: комплекс сандардағы голоморфты функцияларды рационалды функциялармен жуықтау мүмкіндігі. Математикалық дәлелдеме, қасиеттері мен қолданысы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Күрделі талдауда Рунге теоремасы (кейде Рунге жуықтау теоремасы деп те аталады) 1885 жылы алғаш рет дәлелдеген неміс математигі Карл Рунге есімімен аталған. Онда былай делінген:
In complex analysis, Runge's theorem (also known as Runge's approximation theorem) is named after the German mathematician Carl Runge who first proved it in the year 1885. It states the following:
Комплексті сандар жиынын C арқылы белгілейік, K – C-нің компактты жиыны болсын, ал f – K-ні қамтитын ашық жиында голоморфты функция болсын. Егер A – C\K-ның әрбір шектелген байланысқан компонентінен кемінде бір комплекс санды қамтитын жиын болса, онда K-де f-ке біркелкі жақындайтын және функциялардың барлық полюстері A-да болатын рационалды функциялар тізбегі табылады. A-дағы әрбір комплекс сан тізбектегі әрбір рационалды функцияның полюсі болуы міндетті емес. Біз тек оның барлық мүшелерінде полюстер бар екенін және олар A-да жататынын білеміз. Бұл теореманы осылай күшті ететін бір жайт – A жиынын кез келген түрде таңдауға болады. Яғни, C\K-ның шектелген байланысқан компоненттерінен кез келген комплекс сандарды таңдап алуға болады, және теорема тек сол таңдалған сандардың арасында полюстері бар рационалды функциялар тізбегінің бар екендігіне кепілдік береді. Егер C\K байланысқан жиын болса (әсіресе, K жай байланысқан болса), онда теоремадағы A жиыны бос болады. Полюстері жоқ рационалды функциялар – жай полиномдар болғандықтан, мына қорытындыға келеміз: Егер K – C-нің компактты жиыны болса, ал C\K – байланысқан жиын, және f – K-ні қамтитын ашық жиында голоморфты функция болса, онда K-де f-ке біркелкі жақындайтын полиномдар тізбегі бар (шарттарды жеңілдетуге болады, Мергелиан теоремасын қараңыз). Рунге теоремасы былайша жалпыланады: A-ны Риман сферасы C∪{∞} жиынының ішкі жиыны ретінде қарастыруға болады және A-ның K-ның шексіз байланысқан компонентімен (қазір ∞-ні қамтитын) қиылысатынын талап етуге болады. Яғни, жоғарыда келтірілген тұжырымда рационалды функциялардың шексізде полюсі болуы мүмкін, ал жалпы тұжырымда полюс C\K-ның шексіз байланысқан компонентінің кез келген нүктесінде орналасуы мүмкін.
Denoting by C the set of complex numbers, let K be a compact subset of C and let f be a function which is holomorphic on an open set containing K. If A is a set containing at least one complex number from every bounded connected component of C\K then there exists a sequence of rational functions which converges uniformly to f on K and such that all the poles of the functions are in A. Note that not every complex number in A needs to be a pole of every rational function of the sequence We merely know that for all members of that do have poles, those poles lie in A. One aspect that makes this theorem so powerful is that one can choose the set A arbitrarily. In other words, one can choose any complex numbers from the bounded connected components of C\K and the theorem guarantees the existence of a sequence of rational functions with poles only amongst those chosen numbers. For the special case in which C\K is a connected set (in particular when K is simply connected), the set A in the theorem will clearly be empty. Since rational functions with no poles are simply polynomials, we get the following corollary: If K is a compact subset of C such that C\K is a connected set, and f is a holomorphic function on an open set containing K, then there exists a sequence of polynomials that approaches f uniformly on K (the assumptions can be relaxed, see Mergelyan's theorem). Runge's theorem generalises as follows: one can take A to be a subset of the Riemann sphere C∪{∞} and require that A intersect also the unbounded connected component of K (which now contains ∞). That is, in the formulation given above, the rational functions may turn out to have a pole at infinity, while in the more general formulation the pole can be chosen instead anywhere in the unbounded connected component of C\K.