Введение

В комплексном анализе теорема Рунге (также известная как теорема об аппроксимации Рунге) названа в честь немецкого математика Карла Рунге, который впервые доказал её в 1885 году. Она утверждает следующее:

Обозначая множество комплексных чисел через C, пусть K — компактное подмножество C, а f — функция, голоморфная на открытом множестве, содержащем K. Если A — множество, содержащее по крайней мере одно комплексное число из каждого связного ограниченного компонента C\K, то существует последовательность рациональных функций, равномерно сходящаяся к f на K, причём все полюса этих функций лежат в A. Следует отметить, что не каждое комплексное число из A обязано быть полюсом каждой рациональной функции из последовательности. Мы лишь знаем, что для всех членов последовательности, имеющих полюса, эти полюса лежат в A. Важным свойством этой теоремы является возможность произвольного выбора множества A. Иными словами, можно выбрать любые комплексные числа из связных ограниченных компонент C\K, и теорема гарантирует существование последовательности рациональных функций с полюсами, расположенными только в выбранных числах. Для частного случая, когда C\K является связным множеством (в частности, когда K просто связен), множество A в теореме будет очевидно пустым. Поскольку рациональные функции без полюсов — это просто полиномы, получаем следующее следствие: если K — компактное подмножество C, такое что C\K — связное множество, а f — голоморфная функция на открытом множестве, содержащем K, то существует последовательность полиномов, равномерно стремящаяся к f на K (предположения могут быть ослаблены, см. теорему Мергеляна). Теорема Рунге обобщается следующим образом: можно рассматривать A как подмножество сферы Римана C∪{∞} и требовать, чтобы A пересекало также неограниченный связный компонент C\K (который теперь содержит ∞). То есть, в приведенной выше формулировке рациональные функции могут иметь полюс в бесконечности, а в более общей формулировке полюс можно выбрать в любой точке неограниченного связного компонента C\K.