Кіріспе
бірнеше күрделі айнымалылардағы ұғым. Математикада, дәлірек айтқанда, бірнеше күрделі айнымалылардың функциялары теориясында, псевдоконвекс жиын – n өлшемді күрделі кеңістіктегі Cn ашық жиынының ерекше түрі. Псевдоконвекс жиындар маңызды, себебі олар голоморфия домендерін жіктеуге мүмкіндік береді. Домен, яғни ашық байланысқан ішкі жиын болсын. Егер доменде барлық нақты сандар үшін салыстырмалы түрде тығыз ішкі жиын болса, онда ол псевдоконвекс (немесе Хартогтың псевдоконвекс) деп аталады. Басқаша айтқанда, домен псевдоконвекс, егер оның үздіксіз плюрисубармоникалық тозу функциясы болса. Кез келген (геометриялық) дөңес жиын псевдоконвекс болады. Дегенмен, геометриялық дөңес емес псевдоконвекс домендер де бар. Егер доменнің (екі рет үздіксіз дифференциалданатын) шекарасы болса, бұл ұғым Леви псевдоконвексиясымен бірдей, онымен жұмыс істеу оңайырақ. Дәлірек айтқанда, шекарасы бар домен үшін, анықтамалы функцияның бар екендігі көрсетіледі, яғни, ондай бар, осылайша , және . Онда домен псевдоконвекс, егер кез келген және p нүктесіндегі күрделі жанама кеңістікте, яғни, , мына теңсіздік орындалса: . Жоғарыдағы анықтама нақты анализдегі дөңестік анықтамаларына ұқсас. Егер доменнің шекарасы болмаса, келесі жуықтау нәтижесі пайдалы болуы мүмкін. 1-ұсыныс: Егер псевдоконвекс болса, онда шектелген, күшті Леви псевдоконвекс домендері бар, (тегіс) шекарасы бар, олар доменде салыстырмалы түрде тығыз, себебі бұл анықтамада біз C∞ тозу функциясын таба аламыз.
In mathematics, more precisely in the theory of functions of several complex variables, a pseudoconvex set is a special type of open set in the n dimensional complex space Cn. Pseudoconvex sets are important, as they allow for classification of domains of holomorphy. Let
be a domain, that is, an open connected subset. One says that is pseudoconvex (or Hartogs pseudoconvex) if there exists a continuous plurisubharmonic function on such that the set
is a relatively compact subset of for all real numbers In other words, a domain is pseudoconvex if has a continuous plurisubharmonic exhaustion function. Every (geometrically) convex set is pseudoconvex. However, there are pseudoconvex domains which are not geometrically convex. When has a (twice continuously differentiable) boundary, this notion is the same as Levi pseudoconvexity, which is easier to work with. More specifically, with a boundary, it can be shown that has a defining function, i. e., that there exists which is so that , and Now, is pseudoconvex iff for every and in the complex tangent space at p, that is,
, we have
The definition above is analogous to definitions of convexity in Real Analysis. If does not have a boundary, the following approximation result can be useful. Proposition 1 If is pseudoconvex, then there exist bounded, strongly Levi pseudoconvex domains with (smooth) boundary which are relatively compact in , such that
This is because once we have a as in the definition we can actually find a C∞ exhaustion function.
n = 1 жағдайы
Бір күрделі өлшемде кез келген ашық домен псевдоконвекс болады. Сондықтан псевдоконвективтілік ұғымы 1-ден жоғары өлшемдерде көбірек пайдалы.