Введение

Понятие в нескольких комплексных переменных
В математике, точнее в теории функций нескольких комплексных переменных, псевдовыпуклое множество является особым типом открытого множества в n-мерном комплексном пространстве Cn. Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфии. Пусть

будет областью, то есть открытым связным подмножеством. Говорят, что область псевдовыпуклая (или псевдовыпуклая по Хартогсу), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на такая, что множество

является относительно компактным подмножеством для всех действительных чисел . Иными словами, область псевдовыпукла, если у нее есть непрерывная плюрисубгармоническая функция исчерпания. Каждое (геометрически) выпуклое множество является псевдовыпуклым. Однако существуют псевдовыпуклые области, которые не являются геометрически выпуклыми. Когда имеет (дважды непрерывно дифференцируемую) границу, это понятие совпадает с псевдовыпуклостью Леви, с которой легче работать. Более конкретно, при наличии границы можно показать, что имеет определяющую функцию, то есть существует такая, что и . Теперь, псевдовыпукла тогда и только тогда, когда для каждого и в комплексном касательном пространстве в точке p, то есть,

, выполняется неравенство

Вышеуказанное определение аналогично определениям выпуклости в математическом анализе. Если не имеет границы, то может быть полезен следующий результат об аппроксимации. Предложение 1. Если псевдовыпукла, то существуют ограниченные, сильно псевдовыпуклые области Леви с (гладкой) границей, которые относительно компактны в , такие что

Это связано с тем, что как только у нас есть в определении, мы можем фактически найти функцию исчерпания класса C∞.

Случай n = 1

В одном комплексном измерении любая открытая область является псевдовыпуклой. Таким образом, понятие псевдовыпуклости более полезно в размерностях, больших 1.