Кіріспе
Аналитикалық функциялардың теңдігі туралы теорема. Нақты талдау және комплекс талдау, математиканың салалары, аналитикалық функциялардың сәйкестік теоремасы былай тұжырымдайды: егер f және g функциялары D доменінде (ашық және байланысқан ішкі жиын, немесе ) аналитикалық болса және f = g кейбір аймақта, мұнда аймақтың D доменінде жинақталу нүктесі бар, онда f = g D доменінің барлық нүктелерінде тең болады. Осылайша, аналитикалық функция D доменіндегі бір ашық маңнан немесе тіпті D-нің санаулы ішкі жиынынан (егер ол жиын конвергентті тізбек пен оның лимітін қамтитын болса) толық анықталады. Бұл жалпы алғанда, нақты дифференциалданатын функциялар үшін, тіпті шексіз дифференциалданатын функциялар үшін де дұрыс емес. Қарама-қарсылығы, аналитикалық функциялар әлдеқайда қатаң ұғым болып табылады. Теореманы бейресми түрде жиі аналитикалық функциялар "қатаң" екендігі арқылы түйіндейді (мысалы, үздіксіз функциялар "жұмсақ" болатындықтан). Теореманың негізінде жатқан факт – голоморфтық функцияның Тейлор қатарына жіктелуі. D доменінің байланысқандығы туралы талап қажет. Мысалы, егер D екі ажыратылған ашық жиыннан тұрса, онда f функциясы бір жиында, ал g функциясы екінші жиында тең болуы мүмкін, ал екінші жағдайда керісінше болуы да мүмкін.
In real analysis and complex analysis, branches of mathematics, the identity theorem for analytic functions states: given functions f and g analytic on a domain D (open and connected subset of or ), if f = g on some , where has an accumulation point in D, then f = g on D.
Thus an analytic function is completely determined by its values on a single open neighborhood in D, or even a countable subset of D (provided this contains a converging sequence together with its limit). This is not true in general for real differentiable functions, even infinitely real differentiable functions. In comparison, analytic functions are a much more rigid notion. Informally, one sometimes summarizes the theorem by saying analytic functions are "hard" (as opposed to, say, continuous functions which are "soft"). The underpinning fact from which the theorem is established is the expandability of a holomorphic function into its Taylor series. The connectedness assumption on the domain D is necessary. For example, if D consists of two disjoint open sets, can be on one open set, and on another, while is on one, and on another.
Лемма
Егер екі голоморфтық функциялар және D доменінде жинақтау нүктесі бар S жиынында келіссе, онда ортасында орналасқан дискте келіседі. Бұл дәлелдеу үшін, барлық үшін көрсету жеткілікті.
To prove this, it is enough to show that for all
Егер бұл жағдай болмаса, ең кішкентай теріс емес бүтін сан болсын. Голоморфия арқылы, бізде мынадай Тейлор қатарының көрінісі бар: U ашық маңдайында:
Жалғастығы бойынша, айналасындағы кейбір кішкентай ашық дискте нөл емес, бірақ содан кейін тесілген жиынға қарағанда келіседі. Бұл S жиынының жинақтау нүктесі деген болжамға қайшы келеді. Бұл лемма комплекс сан үшін талшық дискретті (осылайша саналатын) жиынтық екенін көрсетеді, егер .
This lemma shows that for a complex number , the fiber is a discrete (and therefore countable) set, unless .
Толық сипаттама
Идентикалық теорема екі голоморфтық функцияның теңдігімен айналысқандықтан, біз қарапайым түрде олардың айырмасын қарастыра аламыз (ол да голоморфты болып қалады) және голоморфтық функцияның бірдей болатын жағдайларын анықтауға болады. Келесі нәтиже мына жерде кездеседі.