Введение
Теорема о равенстве аналитических функций
В реальном и комплексном анализе, разделах математики, теорема об идентичности для аналитических функций утверждает: даны функции f и g, аналитические на области D (открытое и связное подмножество или ), если f = g на некотором множестве, где имеет точку накопления в D, то f = g на D.
In real analysis and complex analysis, branches of mathematics, the identity theorem for analytic functions states: given functions f and g analytic on a domain D (open and connected subset of or ), if f = g on some , where has an accumulation point in D, then f = g on D.
Таким образом, аналитическая функция полностью определяется своими значениями на одном открытом окрестности в D, или даже на счётном подмножестве D (при условии, что это подмножество содержит сходящуюся последовательность вместе со своим пределом). Это неверно в общем случае для вещественно дифференцируемых функций, даже бесконечно дифференцируемых. В сравнении с этим, аналитические функции представляют собой гораздо более жёсткое понятие. Неформально, теорему иногда резюмируют, говоря, что аналитические функции "жёсткие" (в отличие, например, от непрерывных функций, которые "мягкие"). Основополагающим фактом, на котором базируется доказательство теоремы, является разложимость голоморфной функции в ряд Тейлора. Предположение о связности области D необходимо. Например, если D состоит из двух непересекающихся открытых множеств, f может быть равна определённому значению на одном открытом множестве и другому значению на другом, а g может быть равна одному значению на одном множестве и другому значению на другом.
Лемма
Если две голоморфные функции f и g на области D совпадают на множестве S, которое имеет точку накопления z в D, то f = g на диске в D с центром в z. Для доказательства этого достаточно показать, что f^(n) (z) = g^(n) (z) для всех n ≥ 0.
To prove this, it is enough to show that for all
If this is not the case, let be the smallest nonnegative integer with By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of :
By continuity, is non zero in some small open disk around But then on the punctured set This contradicts the assumption that is an accumulation point of
This lemma shows that for a complex number , the fiber is a discrete (and therefore countable) set, unless .
Если это не так, пусть k – наименьшее неотрицательное целое число, такое что f^(k)(z) ≠ g^(k)(z). По голоморфности, у нас есть следующее разложение в ряд Тейлора в некотором открытом окрестности U точки z:
To prove this, it is enough to show that for all
If this is not the case, let be the smallest nonnegative integer with By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of :
By continuity, is non zero in some small open disk around But then on the punctured set This contradicts the assumption that is an accumulation point of
This lemma shows that for a complex number , the fiber is a discrete (and therefore countable) set, unless .
f(w) = Σ (f^(n)(z) / n!) * (w - z)^n
To prove this, it is enough to show that for all
If this is not the case, let be the smallest nonnegative integer with By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of :
By continuity, is non zero in some small open disk around But then on the punctured set This contradicts the assumption that is an accumulation point of
This lemma shows that for a complex number , the fiber is a discrete (and therefore countable) set, unless .
По непрерывности, f^(k)(z) ≠ 0 в некотором маленьком открытом диске вокруг z. Но тогда (f - g) на проколотом множестве имеет нуль порядка k. Это противоречит предположению, что z является точкой накопления множества S.
To prove this, it is enough to show that for all
If this is not the case, let be the smallest nonnegative integer with By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of :
By continuity, is non zero in some small open disk around But then on the punctured set This contradicts the assumption that is an accumulation point of
This lemma shows that for a complex number , the fiber is a discrete (and therefore countable) set, unless .
Эта лемма показывает, что для комплексного числа z, волокно f^(-1)(z) является дискретным (и, следовательно, счетным) множеством, если только z не является критической точкой функции f.
To prove this, it is enough to show that for all
If this is not the case, let be the smallest nonnegative integer with By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of :
By continuity, is non zero in some small open disk around But then on the punctured set This contradicts the assumption that is an accumulation point of
This lemma shows that for a complex number , the fiber is a discrete (and therefore countable) set, unless .
Полная характеристика
Поскольку теорема об идентичности рассматривает равенство двух голоморфных функций, мы можем просто рассмотреть их разность (которая остаётся голоморфной) и охарактеризовать, когда голоморфная функция тождественно равна нулю. Следующий результат можно найти в.