Вейнштейн болжамы: контактты манифольдтарда периодты орбиталардың болуы
Weinstein conjecture
Вейнштейн болжамы – гамильтон және Рееб векторлық ағындарының периодтық орбиталарының болуы туралы математикалық мәселе. Контакт манифольдтарындағы орбиталар қарастырылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада Вайнштейн болжамы Гамильтон немесе Риб векторлық ағындарының периодты орбиталарының болуына қатысты жалпы мәселе. Нақтырақ айтқанда, болжам бойынша, тығыз контактты коллекторда оның Риб векторлық өрісі кем дегенде бір периодты орбитаны қамтиды. Контакт түрінің деңгейлік жиынтығы, анықтамасы бойынша, гамильтондық векторлық өрісті симплектикалық формаға қысқарту арқылы алынған контактты форманы қабылдайды. Бұл жағдайда, Гамильтон ағыны сол деңгейлік жиынтықтағы Риб векторлық өрісі болып табылады. Кез келген контакттық көптік (M,α) каноникалық симплектикалық көптікке енуі мүмкін, оны M-нің симплектизациясы деп атайды, сондықтан M контакттық типті деңгейлік жиынтығы (каноникалық анықталған гамильтониялық) және Риб векторлық өрісі гамильтониялық ағын болып табылады. Яғни, кез келген контактты коллектор Вайнштейн болжамының талаптарын қанағаттандыру үшін жасалуы мүмкін. Гамильтон ағынының кез келген орбитасы деңгейлік жиынтықта орналасқандықтан, Вайнштейн болжамы – контактты коллекторлар туралы мәлімдеме. Кез келген контактты форманың жабық Риб орбитасын қабылдайтын формаға изотоптық екені белгілі; мысалы, кез келген контактты коллектор үшін үйлесімді ашық кітап ыдырауы бар, оның байланысы жабық Риб орбитасы болып табылады. Дегенмен, бұл Вайнштейн болжамын дәлелдеуге жеткіліксіз, өйткені Вайнштейн болжамы әрбір контактты форма жабық Риб орбитасын қабылдайды дейді, ал ашық кітап берілген формаға тек изотоптық болатын форма үшін ғана жабық Риб орбитасын анықтайды. Бұл болжамды 1978 жылы Алан Вайнштейн ұсынған. Бірнеше жағдайда периодты орбитаның бар екендігі белгілі болды. Мысалы, Рабиновиц симплектикалық көптіктегі гамильтондық функциялардың жұлдыз тәрізді деңгейлік жиынтықтарында әрқашан периодты орбиталар бар екенін көрсетті (Вайнштейн дөңес деңгейлік жиынтықтардың ерекше жағдайын тәуелсіз дәлелдеді). Вайнштейн бірнеше осындай теоремалардың гипотезалары деңгейлік жиынтықтың контактты типте болуы шартымен қарастырылатынын байқады. (Вайнштейннің бастапқы болжамдарына деңгейлік жиынның бірінші де Рам кохомология тобы тривиалды деген шарт кірді; бұл гипотеза қажетсіз болып шықты). Вайнштейн болжамын алғаш рет 1986 жылы Витербо контактты гипербеттер үшін дәлелдеді, содан кейін Хофер-Витербо котангенттік бундельдерге және Флоер-Хофер-Витербо асфералық көптүрліліктердің кеңінен сыныптарына кеңейтті. Голоморфты сфералардың болуын Хофер-Витербо қолданған. Бұл жағдайлардың барлығы контактты коллектор симплектикалық коллектордың контактты субманифольді болған жағдаймен байланысты. Осы болжамсыз жаңа тәсіл 3-өлшемде Хофер ашты және контактты гомологияның бастауында тұр. Вайнштейн болжамын Клиффорд Таубес барлық жабық 3-өлшемді көптүрліліктер үшін дәлелдеді. Дәлелдеу Seiberg-Witten Floer гомологиясының нұсқасын пайдаланады және Сейберг-Виттен мен Громов инварианттарының симплектикалық төрт көптүрлілікте эквивалентті екендігі туралы Таубес дәлеліне ұқсас стратегияны қолданады. Әсіресе, дәлелдеу кез келген контактты үш түрлішіннің кіріктірілген контактты гомологиясы тривиальды емес екенін көрсетіп, Вайнштейн болжамын дәлелдеудің тығыз байланысты бағдарламасына қысқа жол ұсынады.
In mathematics, the Weinstein conjecture refers to a general existence problem for periodic orbits of Hamiltonian or Reeb vector flows. More specifically, the conjecture claims that on a compact contact manifold, its Reeb vector field should carry at least one periodic orbit. By definition, a level set of contact type admits a contact form obtained by contracting the Hamiltonian vector field into the symplectic form. In this case, the Hamiltonian flow is a Reeb vector field on that level set. It is a fact that any contact manifold (M,α) can be embedded into a canonical symplectic manifold, called the symplectization of M, such that M is a contact type level set (of a canonically defined Hamiltonian) and the Reeb vector field is a Hamiltonian flow. That is, any contact manifold can be made to satisfy the requirements of the Weinstein conjecture. Since, as is trivial to show, any orbit of a Hamiltonian flow is contained in a level set, the Weinstein conjecture is a statement about contact manifolds. It has been known that any contact form is isotopic to a form that admits a closed Reeb orbit; for example, for any contact manifold there is a compatible open book decomposition, whose binding is a closed Reeb orbit. This is not enough to prove the Weinstein conjecture, though, because the Weinstein conjecture states that every contact form admits a closed Reeb orbit, while an open book determines a closed Reeb orbit for a form which is only isotopic to the given form. The conjecture was formulated in 1978 by Alan Weinstein. In several cases, the existence of a periodic orbit was known. For instance, Rabinowitz showed that on star shaped level sets of a Hamiltonian function on a symplectic manifold, there were always periodic orbits (Weinstein independently proved the special case of convex level sets). Weinstein observed that the hypotheses of several such existence theorems could be subsumed in the condition that the level set be of contact type. (Weinstein's original conjecture included the condition that the first de Rham cohomology group of the level set is trivial; this hypothesis turned out to be unnecessary). The Weinstein conjecture was first proved for contact hypersurfaces in in 1986 by lt=Viterbo, then extended to cotangent bundles by Hofer–Viterbo and to wider classes of aspherical manifolds by Floer–Hofer–Viterbo. The presence of holomorphic spheres was used by Hofer–Viterbo. All these cases dealt with the situation where the contact manifold is a contact submanifold of a symplectic manifold. A new approach without this assumption was discovered in dimension 3 by Hofer and is at the origin of contact homology. The Weinstein conjecture has now been proven for all closed 3 dimensional manifolds by Clifford Taubes. The proof uses a variant of Seiberg–Witten Floer homology and pursues a strategy analogous to Taubes' proof that the Seiberg Witten and Gromov invariants are equivalent on a symplectic four manifold. In particular, the proof provides a shortcut to the closely related program of proving the Weinstein conjecture by showing that the embedded contact homology of any contact three manifold is nontrivial.