Введение

В математике гипотеза Вайнштейна относится к общей проблеме существования периодических орбит гамильтоновых или ребских векторных потоков. Более конкретно, гипотеза утверждает, что на компактном контактном многообразии его векторное поле Риба должно содержать хотя бы одну периодическую орбиту. По определению, множество уровней контактного типа допускает контактную форму, полученную сжатием гамильтонова векторного поля в симплектическую форму. В этом случае гамильтонов поток является ребским векторным полем на этом множестве уровней. Факт заключается в том, что любое контактное многообразие (M,α) может быть вложено в каноническое симплектическое многообразие, называемое симплектизацией M, таким образом, что M является множеством уровней контактного типа (канонически определенного гамильтониана), а векторное поле Риба является гамильтоновым потоком. То есть любое контактное многообразие может быть приведено к выполнению требований гипотезы Вайнштейна. Поскольку, как легко показать, любая орбита гамильтонова потока содержится в множестве уровней, гипотеза Вайнштейна является утверждением о контактных многообразиях. Известно, что любая контактная форма изотопна форме, допускающей замкнутую орбиту Риба; например, для любого контактного многообразия существует совместимое разложение открытой книги, чья переплетная линия является замкнутой орбитой Риба. Однако этого недостаточно для доказательства гипотезы Вайнштейна, поскольку гипотеза Вайнштейна утверждает, что каждая контактная форма допускает замкнутую орбиту Риба, в то время как открытая книга определяет замкнутую орбиту Риба для формы, которая лишь изотопна данной форме. Гипотеза была сформулирована в 1978 году Аланом Вайнштейном. В ряде случаев существование периодической орбиты было известно. Например, Рабиновиц показал, что на звездообразных множествах уровней гамильтоновой функции на симплектическом многообразии всегда существуют периодические орбиты (Вайнштейн независимо доказал частный случай выпуклых множеств уровней). Вайнштейн заметил, что предположения нескольких таких теорем существования можно объединить в условии, что множество уровней должно быть контактного типа. (Первоначальная гипотеза Вайнштейна включала условие, что первая группа когомологий де Рама множества уровней тривиальна; эта гипотеза оказалась излишней). Гипотеза Вайнштейна была впервые доказана для контактных гиперповерхностей в 1986 году Витербо, затем расширена на кокасательные расслоения Хофером-Витербо и на более широкие классы асферических многообразий Флоером-Хофером-Витербо. Наличие голоморфных сфер использовалось Хофером-Витербо. Все эти случаи касались ситуации, когда контактное многообразие является контактным подмногообразием симплектического многообразия. Новый подход без этого предположения был открыт в трехмерном случае Хофером и лежит в основе контактной гомологии. Гипотеза Вайнштейна была доказана для всех замкнутых трехмерных многообразий Клиффордом Таубсом. В доказательстве используется вариант гомологии Зейберга-Виттена-Флоэра и проводится стратегия, аналогичная доказательству Таубса о том, что инварианты Зейберга-Виттена и Громова эквивалентны на симплектическом четырехмерном многообразии. В частности, доказательство предоставляет более короткий путь к тесно связанной программе доказательства гипотезы Вайнштейна, показывая, что встроенная контактная гомология любого контактного трехмерного многообразия нетривиальна.