Дифференциалдауға қабілетті функциялардың жергілікті максимум және минимумдарын табу әдісі

Кіріспе

Ашық жиындардағы дифференциалданатын функциялардың жергілікті максимумдары мен минимумдарын табу әдісі. Ферма теоремасы функциялардың максимумдары мен минимумдарына қатысты.

Математикада Ферма теоремасы (ішкі экстремум теоремасы деп те аталады) – дифференциалданатын функциялардың ашық жиындардағы жергілікті максимумдары мен минимумдарын табу әдісі, функцияның әрбір жергілікті экстремумы стационарлық нүкте екенін көрсетеді (функцияның туындысы сол нүктеде нөлге тең). Ферма теоремасы – Пьер де Ферманың есімімен аталған нақты талдау саласындағы теорема. Ферма теоремасын қолдану арқылы, туындысы бар функцияның ықтимал экстремумдары, Ферма теоремасындағы теңдеуді шешу арқылы табылады. Ферма теоремасы экстремалды функция мәндері үшін тек қажетті шарты ғана береді, себебі кейбір стационарлық нүктелер иіс нүктелері болып табылады (максимум немесе минимум емес). Функцияның екінші туындысы болған жағдайда, кейде стационарлық нүктенің максимум немесе минимум екенін анықтау үшін қолданылуы мүмкін.

Айтылым

Ферма теоремасын айтудың бір жолы, егер функцияның белгілі бір нүктеде жергілікті экстремумы болса және ол жерде туындысы болса, онда функцияның сол нүктедегі туындысы нөлге тең болуы керек. Математикалық тілде: болсын және деп есептейік, нүктеде функцияның жергілікті экстремумы бар. Егер функция нүктеде дифференциалданатын болса, онда .

Теореманы түсінудің тағы бір жолы – кері теорема арқылы: егер функцияның кез келген нүктедегі туындысы нөлге тең болмаса, онда сол нүктеде жергілікті экстремум жоқ. Формальды түрде: егер функция нүктеде дифференциалданатын болса және , онда функцияның нүктеде жергілікті экстремумы жоқ.

Ұзарту

Жоғары өлшемдерде дәл осындай мәлімдеме орындалады; алайда дәлелдеу сәл күрделірек. Бір өлшемде нүктеден солға немесе оңға қарай қозғалуға болады, ал жоғары өлшемдерде көптеген бағыттарда қозғалуға болады. Сондықтан, егер туынды нөлге тең болмаса, функцияның қандай да бір бағытта өсетінін – демек, кері бағытта азаятынын дәлелдеу қажет. Дәлелдеуде немесе талдаудағы жалғыз өзгеріс осы. Бұл мәлімдеме дифференциалданатын көптүрліліктерге де қолданылады. Егер бір көптүрліліктегі дифференциалданатын функция болса, онда оның жергілікті экстремумдары сыныптық нүктелер болуы керек, әсіресе сыртқы туындысы нөлге тең болатын нүктелер.

Қолданбалар

Ферма теоремасы максимумдар мен минимумдарды анықтаудың есептеу әдісінің маңызды бөлігі болып табылады: бір өлшемде экстремумдарды стационарлық нүктелерді (туындының нөлдерін есептеу арқылы), туындыланбайтын нүктелерді және шекаралық нүктелерді анықтап, осы жиынтықты зерттеу арқылы табуға болады. Бұл әрбір нүктеде функцияның мәнін есептеп, ең үлкенін табу арқылы немесе туындыларды одан әрі талдау арқылы жасалуы мүмкін, мысалы, бірінші туынды тестісін, екінші туынды тестісін немесе жоғары ретті туынды тестісін қолдану арқылы.

Интуитивті аргумент

Интуитивті түрде, дифференциалданатын функция өзінің туындысымен жуықталады – дифференциалданатын функция шексіз кішкентай өлшемде сызықтық функция сияқты мінез-құлық көрсетеді, немесе дәлірек айтқанда, сондықтан "егер f функциясы дифференциалданатын болса және нүктесінде нөлдік емес туындысы болса, онда ол сол нүктеде экстремумға жете алмайды" деген тұрғысынан қарағанда, егер туындысы оң болса, функция нүктесінің жанында өседі, ал егер туындысы теріс болса, функция нүктесінің жанында кемиді. Екі жағдайда да ол максимум немесе минимумға жете алмайды, себебі оның мәні өзгеріп тұрады. Ол тек "тоқтағанда" ғана – яғни туындысы нөлге теңелгенде (немесе ол дифференциалданатын болмаса, немесе шекараға жетіп, жалғаса алмаса) ғана максимум немесе минимумға жете алады. Дегенмен, "сызықтық функция сияқты мінез-құлықты" нақтылау үшін мұқиятталған талдамалық дәлелдеу қажет. Нақтырақ айтқанда, интуицияны былай формулиреуге болады: егер туындысы оң болса, онда нүктесінің оң жағында f-тың үлкен мәні бар нүкте табылады, ал сол жағында f-тың кіші мәні бар нүкте табылады, демек f нүктесінде максимумға да, минимумға да жете алмайды. Керісінше, егер туындысы теріс болса, онда оң жақтағы нүкте кішірек, ал сол жақтағы нүкте үлкен болады. Осылай айтқанда, дәлелдеу – бұл осыны теңдеулерге аудастырып, "неғұрлым үлкен немесе кіші" екенін тексеруден тұрады. Интуиция полиномдық функциялардың мінез-құлқына негізделген. f функциясы x0 нүктесінде максимумға ие деп есептейік, функцияның минимумы үшін де осыған ұқсас ойлауға болады. Егер нүктесі жергілікті максимум болса, онда шамамен, нүктесінің маңында функция "алдында өсіп", "кейін кеміп" кететін (мүмкін кішкентай) маң бар. Туындысы өсу функциясы үшін оң, ал кему функциясы үшін теріс болғандықтан, нүктесінің алдында оң, кейін теріс мәндерді өткізіп жібермейді (Дарбукс теоремасы бойынша), сондықтан ол оң және теріс мәндердің арасындағы бір нүктеде нөлге тең болуы керек. Теорема (және оның төмендегі дәлелі) интуициядан гөрі жалпылама, себебі ол функцияның маңында дифференциалдануын талап етпейді. Функцияның тек экстремалды нүктеде дифференциалдануы жеткілікті.

Intuitively, a differentiable function is approximated by its derivative – a differentiable function behaves infinitesimally like a linear function or more precisely, Thus, from the perspective that "if f is differentiable and has non vanishing derivative at then it does not attain an extremum at " the intuition is that if the derivative at is positive, the function is increasing near while if the derivative is negative, the function is decreasing near In both cases, it cannot attain a maximum or minimum, because its value is changing. It can only attain a maximum or minimum if it "stops" – if the derivative vanishes (or if it is not differentiable, or if one runs into the boundary and cannot continue). However, making "behaves like a linear function" precise requires careful analytic proof. More precisely, the intuition can be stated as: if the derivative is positive, there is some point to the right of where f is greater, and some point to the left of where f is less, and thus f attains neither a maximum nor a minimum at Conversely, if the derivative is negative, there is a point to the right which is lesser, and a point to the left which is greater. Stated this way, the proof is just translating this into equations and verifying "how much greater or less". The intuition is based on the behavior of polynomial functions. Assume that function f has a maximum at x0, the reasoning being similar for a function minimum. If is a local maximum then, roughly, there is a (possibly small) neighborhood of such as the function "is increasing before" and "decreasing after" As the derivative is positive for an increasing function and negative for a decreasing function, is positive before and negative after does not skip values (by Darboux's theorem), so it has to be zero at some point between the positive and negative values. The only point in the neighbourhood where it is possible to have is
The theorem (and its proof below) is more general than the intuition in that it does not require the function to be differentiable over a neighbourhood around It is sufficient for the function to be differentiable only in the extreme point.

Сақтық шаралары

Ферма теоремасы аясында жиі кездесетін қате түсінік – теореманың жергілікті мінез-құлық туралы күштірек мәлімдеме жасайды деген болжам. Нақты айтқанда, Ферма теоремасы функциялардың (монотонды түрде) жергілікті максимумға "дейін өсетінін" немесе "жергілікті минимумнан "төмендейтінін" айтпайды. Бұл, лимит нүктенің "біркелкі жақындауы" деген қате түсінікке ұқсас. "Жақсы мінез-құлықты функциялар" (яғни, үздіксіз дифференциалданатын функциялар) үшін кейбір интуициялар дұрыс болғанымен, жалпы жағдайда функциялар нашар мінез-құлыққа ие болуы мүмкін, бұл төменде көрсетілген. Бастысы – туындылар шексіз кішкентай мінез-құлықты анықтайды, ал үздіксіз туындылар жергілікті мінез-құлықты анықтайды.

Тұрақты дифференциалданған функциялар

Егер f функциясы нүктенің ашық аймағында үздіксіз дифференциалданатын болса, онда f функциясы сол аймақтың маңында өсуі мүмкін. Егер және болса, онда туындының үздіксіздігіне сәйкес, мұндай бір бар, осылайша барлық үшін . Осылайша, орташа мән теоремасы бойынша, f функциясы осы аралықта өседі: кез келген секунт түзуінің еңісі кеміндегі, себебі ол кейбір жанама түзудің еңісіне тең. Алайда, Ферма теоремасының жалпы тұжырымында, тек нүктедегі туындысы оң деп берілген жағдайда, секунт түзулерінің еңісі оң болады деген қорытынды жасауға болады, олар нүкте арасында және оған жеткілікті жақын нүктелерде өтеді. Керісінше, егер f функциясының нүктедегі туындысы нөлге тең болса (ол стационарлық нүкте), f функциясының жергілікті мінез-құлқы туралы ешқандай қорытынды жасауға болмайды – ол бір жаққа өсіп, екінші жаққа кемуі мүмкін (мысалы, ), екі жаққа да өсуі мүмкін (мысалы, ), екі жаққа да кемуі мүмкін (мысалы, ) немесе одан да күрделірек мінез-құлық танытуы мүмкін, мысалы, тербеліске түсуі мүмкін (мысалы, төменде талқыланғандай). Функция жеткілікті дифференциалданатын болса, екінші туынды тестісі және жоғары ретті туынды тестісі арқылы шексіз кішкентай мінез-құлқына талдау жасауға болады. Егер нүктедегі бірінші нөлдік емес туындысы үздіксіз функция болса, онда жергілікті мінез-құлқы туралы қорытынды жасауға болады (яғни, егер бірінші нөлдік емес туындысы болса және үздіксіз болса, онда) f функциясын k дәрежелі полиномға жергілікті жақын деп қарастыруға болады, себебі ол шамамен сондай мінез-құлық көрсетеді, бірақ k-шы туындысы үздіксіз болмаса, мұндай қорытынды жасауға болмайды және ол өте әртүрлі мінез-құлық танытуы мүмкін.

Патологиялық функциялар

Функция x 0-ге жақындаған сайын және арасында бұрынғыдан жылдам ауысады. Сәйкесінше, функция 0 мен арасында x 0-ге жақындаған сайын бұрынғыдан жылдам ауысады. Егер осы функцияны анықтап, кеңейтетін болсақ, кеңейтілген функция үздіксіз болады және кез келген жерде дифференциалданады (оның туындысы 0 нүктесінде дифференциалданады), бірақ 0-ге жақын күтпеген мінез-құлық танытады: 0-дің кез келген аймағында ол 0-ге шексіз көп рет жетеді, сонымен қатар (оң сан) шексіз көп рет тең болады. Осы қағида бойынша, функцияны анықтауға болады, ол және арасында тербеледі. Функцияның жергілікті және жаһандық минимумдары 0-де орналасқан, бірақ 0-дің ешқандай аймағында 0-ге қарай төмендемейді немесе 0-ден жоғары көтерілмейді – ол 0-ге жақын қатты тербеліске түседі. Бұл патологияны түсінуге болады, себебі g функциясы кез келген жерде дифференциалданатын болса да, үздіксіз дифференциалдана алмайды: лимит жоқ, сондықтан туынды 0 нүктесінде үздіксіз емес. Бұл 0-ге жақындағандағы өсу мен төмендеу арасындағы тербелісті көрсетеді.