Введение

Метод нахождения локальных максимумов и минимумов дифференцируемых функций на открытых множествах. Теорема Ферма о максимумах и минимумах функций.

В математике теорема Ферма (также известная как теорема о внутренних экстремумах) – это метод нахождения локальных максимумов и минимумов дифференцируемых функций на открытых множествах, заключающийся в доказательстве того, что каждый локальный экстремум функции является стационарной точкой (производная функции в этой точке равна нулю). Теорема Ферма является теоремой в математическом анализе и названа в честь Пьера де Ферма. С помощью теоремы Ферма потенциальные экстремумы функции, с производной , находятся путем решения уравнения. Теорема Ферма дает лишь необходимое условие для экстремальных значений функции, поскольку некоторые стационарные точки являются точками перегиба (не максимумом и не минимумом). Вторая производная функции, если она существует, иногда может быть использована для определения, является ли стационарная точка максимумом или минимумом.

Заявление

Один из способов сформулировать теорему Ферма заключается в том, что если функция имеет локальный экстремум в некоторой точке и дифференцируема в этой точке, то производная функции в этой точке должна быть равна нулю. На точном математическом языке:

Пусть – функция и предположим, что – точка, в которой имеет локальный экстремум. Если дифференцируема в , то

Другой способ понять теорему – через контрпозитивное утверждение: если производная функции в какой-либо точке не равна нулю, то в этой точке нет локального экстремума. Формально:

Если дифференцируема в , и , то не является локальным экстремумом функции .

Расширение

В более высоких измерениях справедливо точно такое же утверждение, однако доказательство немного сложнее. Сложность заключается в том, что в одном измерении от точки можно двигаться либо влево, либо вправо, а в более высоких измерениях – во многих направлениях. Следовательно, если производная не равна нулю, необходимо доказать, что существует некоторое направление, в котором функция возрастает, а значит, в противоположном направлении функция убывает. Это единственное изменение в доказательстве или анализе. Утверждение также можно распространить на дифференцируемые многообразия. Если f – дифференцируемая функция на многообразии M, то ее локальные экстремумы должны быть критическими точками f, в частности, точками, где внешний дифференциал f равен нулю.

Приложения

Теорема Ферма играет центральную роль в исчислении при определении максимумов и минимумов: в одномерном случае экстремумы можно найти, вычислив стационарные точки (находя нули производной), точки, в которых функция недифференцируема, и граничные точки, а затем исследуя полученное множество для определения экстремумов. Это можно сделать либо путем вычисления значения функции в каждой точке и выбора наибольшего, либо путем дальнейшего анализа производных, используя первый критерий производной, второй критерий производной или критерий производной более высокого порядка.

Интуитивный аргумент

Интуитивно, дифференцируемая функция приближается своей производной – дифференцируемая функция ведет себя бесконечно мало как линейная функция, или, точнее, исходя из соображения, что "если f дифференцируема и имеет ненулевую производную в точке x₀, то она не достигает экстремума в этой точке", интуитивно понятно, что если производная в x₀ положительна, то функция возрастает в окрестности x₀, а если производная отрицательна, то функция убывает в окрестности x₀. В обоих случаях она не может достигать максимума или минимума, поскольку ее значение изменяется. Она может достигать максимума или минимума только если она "останавливается" – если производная обращается в нуль (или если функция недифференцируема, или если мы достигаем границы и не можем продолжать). Однако, чтобы сделать утверждение "ведет себя как линейная функция" точным, требуется строгое аналитическое доказательство. Более точно, интуицию можно сформулировать так: если производная положительна, то существует точка справа от x₀, где f больше, и точка слева от x₀, где f меньше, и, следовательно, f не достигает ни максимума, ни минимума в x₀. И наоборот, если производная отрицательна, то существует точка справа, которая меньше, и точка слева, которая больше. Если сформулировать это таким образом, то доказательство сводится к переводу этих утверждений в уравнения и проверке "насколько больше или меньше". Интуиция основана на поведении полиномиальных функций. Предположим, что функция f имеет максимум в x₀, рассуждения для минимума аналогичны. Если x₀ – локальный максимум, то, грубо говоря, существует (возможно, небольшая) окрестность x₀, в которой функция "возрастает до" и "убывает после". Поскольку производная положительна для возрастающей функции и отрицательна для убывающей функции, производная положительна до x₀ и отрицательна после x₀. Производная не пропускает значения (по теореме Дарбукса), поэтому она должна быть равна нулю в некоторой точке между положительными и отрицательными значениями. Единственная точка в окрестности, где это возможно, – это x₀. Теорема (и ее доказательство ниже) более общая, чем интуиция, поскольку она не требует, чтобы функция была дифференцируема в окрестности x₀. Достаточно, чтобы функция была дифференцируема только в точке экстремума x₀.

Предупреждения

Распространенное заблуждение, связанное с теоремой Ферма, заключается в том, что она делает более сильное утверждение о локальном поведении, чем это есть на самом деле. Важно отметить, что теорема Ферма не утверждает, что функции (монотонно) "возрастают до" или "убывают от" локального максимума. Это очень похоже на ошибочное представление о том, что предел означает "монотонное приближение к точке". Для "хорошо себя ведущих функций" (в данном случае – непрерывно дифференцируемых) некоторые интуитивные представления верны, но в общем случае функции могут вести себя непредсказуемо, как показано ниже. Главный вывод заключается в том, что производные определяют поведение в бесконечно малой окрестности, а непрерывные производные – локальное поведение.

Непрерывно дифференцируемые функции

Если функция f непрерывно дифференцируема в открытой окрестности точки , то это означает, что f возрастает в окрестности следующим образом. Если и , то по непрерывности производной существует такое , что для всех . Тогда f возрастает на этом интервале, согласно теореме о среднем значении: наклон любой секущей прямой не меньше , так как он равен наклону некоторой касательной прямой. Однако, в общем случае теоремы Ферма, когда дано лишь то, что производная в положительна, можно лишь заключить, что секущие, проходящие через , будут иметь положительный наклон, для секущих между и достаточно близкими точками. И наоборот, если производная f в точке равна нулю ( является стационарной точкой), то в общем случае нельзя сделать никаких выводов о локальном поведении f – она может возрастать с одной стороны и убывать с другой (как в ), возрастать с обеих сторон (как в ), убывать с обеих сторон (как в ), или вести себя более сложным образом, например, колебаться (как в , как обсуждается ниже). Можно проанализировать бесконечно малые изменения с помощью теста второй производной и теста производных более высокого порядка, если функция достаточно дифференцируема, и если первая ненулевая производная в является непрерывной функцией, то можно сделать вывод о локальном поведении (т.е., если является первой ненулевой производной, и непрерывна, то ), тогда можно считать f локально близкой к многочлену степени k, поскольку она ведет себя приблизительно как , но если k-я производная не является непрерывной, то нельзя делать такие выводы, и она может вести себя совершенно иначе.

Патологические функции

Функция колеблется все быстрее и быстрее между и по мере приближения x к 0. Следовательно, функция колеблется все быстрее и быстрее между 0 и по мере приближения x к 0. Если расширить эту функцию, определив , то расширенная функция будет непрерывной и дифференцируемой во всех точках (в том числе в точке 0, где ее производная равна 0), но демонстрирует довольно неожиданное поведение вблизи 0: в любой окрестности точки 0 она бесконечно много раз принимает значение 0, но также бесконечно часто равна (положительному числу). Продолжая в том же духе, можно определить , которая колеблется между и . Функция достигает своего локального и глобального минимума в , но в любой окрестности точки 0 она нигде не убывает к 0 и нигде не возрастает от 0 – она хаотично колеблется вблизи 0. Эту патологию можно объяснить тем, что, хотя функция g дифференцируема во всех точках, она не является непрерывно дифференцируемой: предел при не существует, следовательно, производная не является непрерывной в точке 0. Это отражает колебания между возрастающими и убывающими значениями при приближении к 0.