Кіріспе
Шектелген монотонды тізбектердің жуысуына қатысты теоремалар. Нақты талдау математикалық саласында монотонды жуысу теоремасы – монотонды тізбектердің (өсуші немесе кемуші тізбектер) жуысуын дәлелдейтін бірнеше байланысты теоремалардың кез келгені. Жай тілмен айтқанда, теоремалар былай тұжырымдайды: егер тізбек өсіп, жоғарыдан шектелген болса, онда ол сол шектеуге (супремумға) жуысады; сондай-ақ, егер тізбек кемитін болса және төменнен шектелген болса, онда ол сол шектеуге (инфимумға) жуысады.
In the mathematical field of real analysis, the monotone convergence theorem is any of a number of related theorems proving the convergence of monotonic sequences (sequences that are decreasing or increasing) that are also bounded. Informally, the theorems state that if a sequence is increasing and bounded above by a supremum, then the sequence will converge to the supremum; in the same way, if a sequence is decreasing and is bounded below by an infimum, it will converge to the infimum.
1-ші лемма
Егер нақты сандар тізбегі өспелі және жоғарыдан шектелген болса, онда оның жоғарғы шегі лимит болады.
Дәлел
Мұндай тізбек болсын, және оның мүшелерінің жиыны болсын. Болжам бойынша, бұл жиын бос емес және жоғарыдан шектелген. Нақты сандардың жоғарғы шек қасиетіне сәйкес, ең жоғарғы шегі бар және ол шекті. Енді, кез келген ε үшін, мұндай n бар, оған дейін , өйтпесе, - ның жоғарғы шегі болар еді, бұл анықтамасына қайшы келер еді. Тізбек өспелі болғандықтан және оның жоғарғы шегі болғандықтан, кез келген n үшін , демек, анықтамасы бойынша, тізбегінің лимиті тең.
2-лема
Егер нақты сандар тізбегі кеміп, төменнен шектелген болса, онда оның инфимумы – лимит.
Дәлел
Дәлел тізбек өсуі және жоғарыдан шектелгеніне қатысты дәлелге ұқсас.
Теорема
Егер нақты сандардың монотонды тізбегі болса (яғни, әр n ≥ 1 үшін an ≤ an+1 немесе әр n ≥ 1 үшін an ≥ an+1), онда бұл тізбектің шекті мәні бар, егер және тек қана тізбек шектеулі болса.
Дәлел
"Егер" бағыты: дәлелдеме леммалардан тікелей шығады. "Егер ғана" бағыты: (ε, δ) шек анықтамасы бойынша, соңғы шегі бар кез келген тізбек қажетті түрде шектеулі болады.
Беппо Левидің леммасы
Келесі нәтиже 1906 жылы Анри Лебегтің алдыңғы нәтижесінің шағын жалпыламасын дәлелдеген Беппо Левиге тиесілі. Бұдан әрі, - бұл кеңістігіндегі Борел жиындарының алгебрасын білдіреді. Анықтама бойынша, жиынын және оның барлық Борел ішкі жиындарын қамтиды.
Дәлел
Бұл дәлел Фату леммасына тікелей сүйенбейді; алайда, осы лемманы қалай қолдануға болатынын түсіндіріп өтеміз. Егер дәлелдің тәуелсіздігі сізді қызықтырмаса, төмендегі аралық нәтижелерді оқымауға болады.
Лебег интегралы өлшемі ретінде
Бірінші лемма. (X, Σ) өлшенетін кеңістік болсын. X-тің кез келген A⊆X жиыны үшін, қарапайым, өлшенетін, теріс емес функциясын қарастырайық f. Содан кейін, μ(A) = ∫A f dμ анықталады. Осылайша, μ – X жиынындағы өлшем болады.
Then is a measure on .
"Түстіктен жалғасу"
Келесі қасиет шаманың анықтамасынан тікелей туындайды. 2-лемма. болсын, және , мұнда барлық жиындары өлшенетін өспейтін тізбек бар. Онда
is a non decreasing chain with all its sets measurable. Then
Теореманың дәлелі
Бірінші қадам. Біз бұл өлшенетінін көрсетеміз. Бұрынғыдай, өлшеуіш кеңістік болсын және қайтадан, өлшенетін теріс емес функциялар тізбегі болсын. Алайда, біз олардың нүктелік өспейтінін қарастырмаймыз. Оның орнына, біз шамамен дерлік әр жерде жинақталады деп есептейміз, сонда -ны нүктелік лимиті ретінде анықтаймыз, және қосымша, шамамен дерлік әр жерде барлық үшін болады деп есептейміз. Онда өлшенетін, және бар, және .
Бұрынғыдай, өлшенетін қасиеті шамамен дерлік әр жерде болатынынан туындайды. Лимиттер мен интегралдардың өзара алмасуы Фату леммасының оңай салдары болып табылады. Фату леммасы бойынша болады, содан кейін, лимиттер мен монотондылықтың стандартты қасиеттері арқылы болады. Демек, , және екеуі де -ға тең. Осыдан бар екені және -ға тең екені шығады.